問題は2つの大問からなります。 大問1は、半径が3、弧の長さが4の扇形について、(1)中心角の大きさをラジアンで求め、(2)面積を求める問題です。 大問2は、$\sin\theta + \cos\theta = \frac{2}{3}$ のとき、(1) $\sin\theta\cos\theta$ の値を求め、(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つの大問からなります。

大問1は、半径が3、弧の長さが4の扇形について、(1)中心角の大きさをラジアンで求め、(2)面積を求める問題です。

大問2は、$\sin\theta + \cos\theta = \frac{2}{3}$ のとき、(1) $\sin\theta\cos\theta$ の値を求め、(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

**大問1**

(1) 中心角の大きさ:

扇形の弧の長さ $l$ は、半径 $r$ と中心角 $\theta$ (ラジアン) を用いて $l = r\theta$ と表されます。

与えられた条件より、$l = 4$、$r = 3$ なので、

$4 = 3\theta$

$\theta = \frac{4}{3}$

(2) 面積:

扇形の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}r^2\theta$ で表されます。

$r = 3$、$\theta = \frac{4}{3}$ を代入すると、

$S = \frac{1}{2} \times 3^2 \times \frac{4}{3} = \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{4}{3} = \frac{36}{6} = 6$

**大問2**

(1) $\sin\theta\cos\theta$:

与えられた式 $\sin\theta + \cos\theta = \frac{2}{3}$ の両辺を2乗すると、

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = (\frac{2}{3})^2$

$\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{4}{9}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ であるから、

$1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{4}{9}$

$2\sin\theta\cos\theta = \frac{4}{9} - 1 = \frac{4}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{5}{9}$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{5}{18}$

(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$:

因数分解の公式 $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ を用いると、

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$

$= (\sin\theta + \cos\theta)(1 - \sin\theta\cos\theta)$

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{2}{3}$、$\sin\theta\cos\theta = -\frac{5}{18}$ を代入すると、

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\frac{2}{3})(1 - (-\frac{5}{18})) = \frac{2}{3}(1 + \frac{5}{18}) = \frac{2}{3}(\frac{18}{18} + \frac{5}{18}) = \frac{2}{3} \times \frac{23}{18} = \frac{46}{54} = \frac{23}{27}$

3. 最終的な答え

**大問1**

(1) 中心角の大きさ: $\frac{4}{3}$ ラジアン

(2) 面積: 6

**大問2**

(1) $\sin\theta\cos\theta$: $-\frac{5}{18}$

(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$: $\frac{23}{27}$