問題1：半径が3、弧の長さが4の扇形がある。 (1) 中心角の大きさはいくらか。 (2) 面積を求めよ。 問題2：$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$ のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $\sin \theta \cos \theta$ (2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$

はい、承知しました。問題文と解答を以下に示します。

1. 問題の内容

問題1：半径が3、弧の長さが4の扇形がある。

(1) 中心角の大きさはいくらか。

(2) 面積を求めよ。

問題2：$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $\sin \theta \cos \theta$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$

2. 解き方の手順

問題1：

(1) 中心角の大きさ：

扇形の弧の長さ $l$ は、半径 $r$ と中心角 $\theta$ (ラジアン) を用いて $l = r\theta$ と表される。

よって、$\theta = \frac{l}{r}$ である。

問題文より $r=3$、 $l=4$ なので、中心角 $\theta = \frac{4}{3}$ ラジアンである。

(2) 面積：

扇形の面積 $S$ は、半径 $r$ と中心角 $\theta$ を用いて $S = \frac{1}{2} r^2 \theta$ と表される。

$r=3$、 $\theta = \frac{4}{3}$ を代入して $S = \frac{1}{2} \times 3^2 \times \frac{4}{3} = \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{4}{3} = 6$

または、扇形の面積は$S = \frac{1}{2}lr$でも計算できる。

$l = 4$, $r = 3$を代入して、$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$

問題2：

(1) $\sin \theta \cos \theta$：

与えられた条件 $\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$ の両辺を2乗する。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{2}{3})^2$

$\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{4}{9}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{4}{9}$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{4}{9} - 1 = -\frac{5}{9}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{5}{18}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$：

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$

$= (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta)$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$、$\sin \theta \cos \theta = -\frac{5}{18}$ を代入する。

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{2}{3} (1 - (-\frac{5}{18})) = \frac{2}{3} (1 + \frac{5}{18}) = \frac{2}{3} \times \frac{23}{18} = \frac{23}{27}$

3. 最終的な答え

問題1：

(1) 中心角: $\frac{4}{3}$ ラジアン

(2) 面積: $6$

問題2：

(1) $\sin \theta \cos \theta = -\frac{5}{18}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{23}{27}$