$\triangle OAB$ において、辺$OA$ を $2:1$ に内分する点を $M$、辺 $OB$ の中点を $N$ とし、線分 $AN$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ として、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ で表す。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺$OA$ を $2:1$ に内分する点を $M$、辺 $OB$ の中点を $N$ とし、線分 $AN$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ として、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ で表す。

2. 解き方の手順

まず、$P$ が線分 $AN$ 上にあることから、実数 $s$ を用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{ON}$

と表せる。$N$ は $OB$ の中点なので、$\vec{ON} = \frac{1}{2}\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{b}$ であるから

$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{s}{2}\vec{b}$

次に、$P$ が線分 $BM$ 上にあることから、実数 $t$ を用いて

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OM}$

と表せる。$M$ は $OA$ を $2:1$ に内分する点なので、$\vec{OM} = \frac{2}{3}\vec{OA} = \frac{2}{3}\vec{a}$ であるから

$\vec{OP} = \frac{2t}{3}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、係数を比較して

$1-s = \frac{2t}{3}$

$\frac{s}{2} = 1-t$

これらの連立方程式を解く。

$s = 2(1-t)$ を $1-s = \frac{2t}{3}$ に代入して

$1 - 2(1-t) = \frac{2t}{3}$

$1 - 2 + 2t = \frac{2t}{3}$

$-1 + 2t = \frac{2t}{3}$

$6t - 3 = 2t$

$4t = 3$

$t = \frac{3}{4}$

$s = 2(1 - \frac{3}{4}) = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

よって

$\vec{OP} = (1 - \frac{1}{2})\vec{a} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$

または

$\vec{OP} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \vec{a} + (1 - \frac{3}{4})\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$