直線 $x + 2y = 0$ に関して、点 $A(3, -4)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $x + 2y = 0$ に関して、点 $A(3, -4)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

点 $B$ の座標を $(x, y)$ とおく。

ステップ1: 線分 $AB$ の中点が直線 $x + 2y = 0$ 上にある。

線分 $AB$ の中点の座標は $\left(\frac{x+3}{2}, \frac{y-4}{2}\right)$ である。

この中点が直線 $x + 2y = 0$ 上にあるので、以下の方程式が成り立つ。

$\frac{x+3}{2} + 2\left(\frac{y-4}{2}\right) = 0$

$x + 3 + 2(y - 4) = 0$

$x + 3 + 2y - 8 = 0$

$x + 2y - 5 = 0$

$x + 2y = 5$ ...(1)

ステップ2: 直線 $AB$ と直線 $x + 2y = 0$ が垂直である。

直線 $AB$ の傾きは $\frac{y - (-4)}{x - 3} = \frac{y+4}{x-3}$ である。

直線 $x + 2y = 0$ は $y = -\frac{1}{2}x$ と変形できるので、この直線の傾きは $-\frac{1}{2}$ である。

2つの直線が垂直であるとき、それらの傾きの積は $-1$ である。したがって、

$\frac{y+4}{x-3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$

$\frac{y+4}{x-3} = 2$

$y + 4 = 2(x - 3)$

$y + 4 = 2x - 6$

$2x - y = 10$ ...(2)

ステップ3: 連立方程式 (1) と (2) を解く。

(1) $x + 2y = 5$

(2) $2x - y = 10$

(2)より、$y = 2x - 10$。これを(1)に代入する。

$x + 2(2x - 10) = 5$

$x + 4x - 20 = 5$

$5x = 25$

$x = 5$

$y = 2x - 10 = 2(5) - 10 = 10 - 10 = 0$

したがって、点Bの座標は$(5,0)$である。

3. 最終的な答え

点Bの座標は $(5, 0)$ です。