2点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$)に対して、線分ABを4:3に内分する点Pおよび外分する点Qの位置ベクトル$\vec{p}$, $\vec{q}$を、それぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

2点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$)に対して、線分ABを4:3に内分する点Pおよび外分する点Qの位置ベクトル$\vec{p}$, $\vec{q}$を、それぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

(1) 線分ABをm:nに内分する点Pの位置ベクトル$\vec{p}$は、以下の式で表されます。

$\vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$

線分ABをm:nに外分する点Qの位置ベクトル$\vec{q}$は、以下の式で表されます。

$\vec{q} = \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m-n}$

(2) 問題文よりm=4, n=3なので、内分点Pの位置ベクトル$\vec{p}$は、以下のようになります。

$\vec{p} = \frac{3\vec{a} + 4\vec{b}}{4+3} = \frac{3\vec{a} + 4\vec{b}}{7}$

(3) 問題文よりm=4, n=3なので、外分点Qの位置ベクトル$\vec{q}$は、以下のようになります。

$\vec{q} = \frac{-3\vec{a} + 4\vec{b}}{4-3} = -3\vec{a} + 4\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = \frac{3}{7}\vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b}$

$\vec{q} = -3\vec{a} + 4\vec{b}$