平行四辺形OABCにおいて、辺BCを2:1に内分する点をD、対角線ACを3:1に内分する点をEとする。このとき、3点O, D, Eが一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

平行四辺形OABCにおいて、辺BCを2:1に内分する点をD、対角線ACを3:1に内分する点をEとする。このとき、3点O, D, Eが一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OC} = \vec{c}$とする。

Dは辺BCを2:1に内分する点なので、

$\vec{OD} = \vec{OB} + \vec{BD} = \vec{OA} + \vec{OC} + \frac{2}{3}\vec{BC} = \vec{a} + \vec{c} + \frac{2}{3}(\vec{OC} - \vec{OB}) = \vec{a} + \vec{c} + \frac{2}{3}(\vec{c} - \vec{a} - \vec{c}) = \vec{a} + \vec{c} + \frac{2}{3}(-\vec{a}) = \frac{1}{3}\vec{a} + \vec{c}$.

したがって、

$\vec{OD} = \frac{1}{3}\vec{a} + \vec{c}$

Eは対角線ACを3:1に内分する点なので、

$\vec{OE} = \frac{3\vec{OC} + 1\vec{OA}}{3+1} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{c}$

$\vec{OE} = k \vec{OD}$となる実数kが存在すれば、3点O, D, Eは一直線上にある。

$\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{c} = k (\frac{1}{3}\vec{a} + \vec{c})$

$\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{c} = \frac{k}{3}\vec{a} + k\vec{c}$

$\vec{a}$と$\vec{c}$は一次独立なので、

$\frac{1}{4} = \frac{k}{3}$

$\frac{3}{4} = k$

したがって、$k = \frac{3}{4}$

$\vec{OE} = \frac{3}{4}\vec{OD}$となるので、3点O, D, Eは一直線上にある。

3. 最終的な答え

3点O, D, Eは一直線上にある。