三角形の2辺の長さ $a = 2$, $c = 6$ と、その間の角 $B = 120^\circ$ が与えられたとき、残りの辺の長さ $b$ を求めよ。

1. 問題の内容

三角形の2辺の長さ $a = 2$, $c = 6$ と、その間の角 $B = 120^\circ$ が与えられたとき、残りの辺の長さ $b$ を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、辺 $b$ の長さを計算します。

余弦定理は以下のように表されます。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

与えられた値を代入します。

$b^2 = 2^2 + 6^2 - 2 \cdot 2 \cdot 6 \cdot \cos 120^\circ$

$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ であるから、

$b^2 = 4 + 36 - 24 \cdot (-\frac{1}{2})$

$b^2 = 40 + 12$

$b^2 = 52$

$b$ は長さなので正の値を取ります。

$b = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$

3. 最終的な答え

$b = 2\sqrt{13}$