問題27は、図に含まれる長方形の個数と、正十角形の頂点から作られる三角形に関する問題を扱っています。 (1) 右の図に含まれる長方形の総数を求めます。 (2) 正十角形ABCDEFGHIJの3つの頂点を結んで三角形を作る問題です。 (ア) できる三角形の総数を求めます。 (イ) 正十角形と1辺だけを共有する三角形の数を求めます。 (ウ) 正十角形と辺を共有しない三角形の数を求めます。

1. 問題の内容

問題27は、図に含まれる長方形の個数と、正十角形の頂点から作られる三角形に関する問題を扱っています。

(1) 右の図に含まれる長方形の総数を求めます。

(2) 正十角形ABCDEFGHIJの3つの頂点を結んで三角形を作る問題です。

(ア) できる三角形の総数を求めます。

(イ) 正十角形と1辺だけを共有する三角形の数を求めます。

(ウ) 正十角形と辺を共有しない三角形の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

右の図は縦4本、横5本の線から構成されています。長方形は、縦の線から2本、横の線から2本を選ぶことで一つ決まります。

縦の線の選び方は $_4C_2$ 通り、横の線の選び方は $_5C_2$ 通りです。

したがって、長方形の総数は、$_4C_2 \times _5C_2$ で計算できます。

$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

長方形の総数 = $6 \times 10 = 60$

(2)(ア)

正十角形の頂点から3つを選んで三角形を作る方法は、$_{10}C_3$ 通りです。

$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

(2)(イ)

正十角形と1辺だけを共有する三角形の数を求めるには、まず正十角形の辺の選び方が10通りあります。選んだ辺以外の頂点は、その両隣の頂点を除いた7個の頂点から1つ選ぶ必要があります。

したがって、1辺だけを共有する三角形の数は $10 \times 7 = 70$ です。

(2)(ウ)

正十角形と辺を共有しない三角形の数を求めるには、まず三角形の総数から、辺を共有する三角形の数（1辺を共有するものと2辺を共有するもの）を引く必要があります。2辺を共有する三角形は正十角形の頂点の数と同じで10個です。

したがって、辺を共有しない三角形の数は $120 - 70 - 10 = 40$ です。

3. 最終的な答え

(1) 60個

(2)(ア) 120個

(2)(イ) 70個

(2)(ウ) 40個