正八角形の3つの頂点を選んで三角形を作るとき、以下の数を求めます。 (1) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数 (2) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数 (3) 正八角形と1辺も共有しない三角形の個数

1. 問題の内容

正八角形の3つの頂点を選んで三角形を作るとき、以下の数を求めます。

(1) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数

(2) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数

(3) 正八角形と1辺も共有しない三角形の個数

2. 解き方の手順

(1) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数

まず、正八角形の1辺を選ぶ方法は8通りあります。選んだ辺に対して、残りの1つの頂点は隣り合う頂点と、その隣の頂点を除いた4つの頂点から選ぶことができます。したがって、

$8 \times 4 = 32$ 通り

(2) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数

正八角形で2辺を共有する三角形は、隣り合う2辺を選ぶことになります。したがって、正八角形の頂点の数だけ、つまり8個の三角形が存在します。

(3) 正八角形と1辺も共有しない三角形の個数

まず、正八角形から3つの頂点を選ぶ総数は、$_{8}C_{3}$ です。

$_{8}C_{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

次に、正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数は32個、2辺を共有する三角形の個数は8個です。したがって、1辺も共有しない三角形の個数は、すべての三角形の数から、1辺だけを共有する三角形と2辺を共有する三角形の数を引いたものになります。

$56 - 32 - 8 = 16$

3. 最終的な答え

(1) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数：32個

(2) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数：8個

(3) 正八角形と1辺も共有しない三角形の個数：16個