曲線 $5x^2 + 2xy + y^2 = 16$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $5x^2 + 2xy + y^2 = 16$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を回転させることで $xy$ の項を消去します。

回転角を $\theta$ とすると、次の変換を行います。

$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$

$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$

これを $5x^2 + 2xy + y^2 = 16$ に代入すると、

$5(X \cos \theta - Y \sin \theta)^2 + 2(X \cos \theta - Y \sin \theta)(X \sin \theta + Y \cos \theta) + (X \sin \theta + Y \cos \theta)^2 = 16$

$5(X^2 \cos^2 \theta - 2XY \cos \theta \sin \theta + Y^2 \sin^2 \theta) + 2(X^2 \cos \theta \sin \theta + XY \cos^2 \theta - XY \sin^2 \theta - Y^2 \sin \theta \cos \theta) + (X^2 \sin^2 \theta + 2XY \sin \theta \cos \theta + Y^2 \cos^2 \theta) = 16$

$(5 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta \sin \theta + \sin^2 \theta) X^2 + (-10 \cos \theta \sin \theta + 2 \cos^2 \theta - 2 \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta) XY + (5 \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta) Y^2 = 16$

$XY$ の項が消えるためには、

$-10 \cos \theta \sin \theta + 2 \cos^2 \theta - 2 \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = 0$

$-8 \cos \theta \sin \theta + 2(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 0$

$-4 \sin(2 \theta) + 2 \cos(2 \theta) = 0$

$2 \cos(2 \theta) = 4 \sin(2 \theta)$

$\tan(2 \theta) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$2 \theta = \arctan \frac{1}{2}$ となり、

$\cos(2 \theta) = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $\sin(2 \theta) = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2 \theta)}{2} = \frac{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}}{2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{2\sqrt{5}}$

$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2 \theta)}{2} = \frac{1 - \frac{2}{\sqrt{5}}}{2} = \frac{\sqrt{5} - 2}{2\sqrt{5}}$

$\cos \theta \sin \theta = \frac{\sin(2 \theta)}{2} = \frac{1}{2\sqrt{5}}$

したがって、

$(5 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta \sin \theta + \sin^2 \theta) X^2 + (5 \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta) Y^2 = 16$

$(5 \frac{\sqrt{5}+2}{2\sqrt{5}} + 2 \frac{1}{2\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}-2}{2\sqrt{5}}) X^2 + (5 \frac{\sqrt{5}-2}{2\sqrt{5}} - 2 \frac{1}{2\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}+2}{2\sqrt{5}}) Y^2 = 16$

$(\frac{5\sqrt{5}+10+2+\sqrt{5}-2}{2\sqrt{5}}) X^2 + (\frac{5\sqrt{5}-10-2+\sqrt{5}+2}{2\sqrt{5}}) Y^2 = 16$

$\frac{6\sqrt{5}+10}{2\sqrt{5}} X^2 + \frac{6\sqrt{5}-10}{2\sqrt{5}} Y^2 = 16$

$(\frac{3\sqrt{5}+5}{\sqrt{5}}) X^2 + (\frac{3\sqrt{5}-5}{\sqrt{5}}) Y^2 = 16$

$(3 + \sqrt{5}) X^2 + (3 - \sqrt{5}) Y^2 = 16$

$\frac{X^2}{\frac{16}{3+\sqrt{5}}} + \frac{Y^2}{\frac{16}{3-\sqrt{5}}} = 1$

$\frac{X^2}{\frac{16(3-\sqrt{5})}{4}} + \frac{Y^2}{\frac{16(3+\sqrt{5})}{4}} = 1$

$\frac{X^2}{4(3-\sqrt{5})} + \frac{Y^2}{4(3+\sqrt{5})} = 1$

これは楕円の式であり、$a^2 = 4(3 - \sqrt{5})$ と $b^2 = 4(3 + \sqrt{5})$ である。

$a = 2 \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ と $b = 2 \sqrt{3 + \sqrt{5}}$

楕円の面積は $\pi ab$ で与えられる。

$S = \pi \cdot 2 \sqrt{3-\sqrt{5}} \cdot 2 \sqrt{3+\sqrt{5}} = 4 \pi \sqrt{9-5} = 4 \pi \sqrt{4} = 4 \pi \cdot 2 = 8 \pi$

3. 最終的な答え

$8\pi$