この問題は、二つのパートに分かれています。 パート1（演習10-1）では、与えられたベクトルの組について、ベクトル積を計算します。 パート2（演習10-2）では、与えられたベクトルの組について、ベクトル積を用いてそれらのなす角を求めます。

1. 問題の内容

この問題は、二つのパートに分かれています。

パート1（演習10-1）では、与えられたベクトルの組について、ベクトル積を計算します。

パート2（演習10-2）では、与えられたベクトルの組について、ベクトル積を用いてそれらのなす角を求めます。

2. 解き方の手順

**演習10-1**

ベクトル積 $A \times B$ は、以下の行列式を用いて計算できます。

$A \times B = \begin{vmatrix}

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\

A_x & A_y & A_z \\

B_x & B_y & B_z

\end{vmatrix} = (A_y B_z - A_z B_y) \vec{i} - (A_x B_z - A_z B_x) \vec{j} + (A_x B_y - A_y B_x) \vec{k}$

ここで、$\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ はそれぞれ $x, y, z$ 方向の単位ベクトルを表します。

$A_x, A_y, A_z$ と $B_x, B_y, B_z$ はそれぞれベクトル $A$ と $B$ の $x, y, z$ 成分を表します。

1. $A = 2\vec{i} + \vec{j}$, $B = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$

$A \times B = \begin{vmatrix}

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\

2 & 1 & 0 \\

1 & 1 & 1

\end{vmatrix} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) \vec{i} - (2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) \vec{j} + (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \vec{k} = \vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}$

2. $A = 2\vec{i} - 3\vec{j} + 2\vec{k}$, $B = -\vec{i} + \vec{k}$

$A \times B = \begin{vmatrix}

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\

2 & -3 & 2 \\

-1 & 0 & 1

\end{vmatrix} = (-3 \cdot 1 - 2 \cdot 0) \vec{i} - (2 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) \vec{j} + (2 \cdot 0 - (-3) \cdot (-1)) \vec{k} = -3\vec{i} - 4\vec{j} - 3\vec{k}$

3. $A = -3\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}$, $B = \vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k}$

$A \times B = \begin{vmatrix}

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\

-3 & 2 & 1 \\

1 & 2 & -1

\end{vmatrix} = (2 \cdot (-1) - 1 \cdot 2) \vec{i} - ((-3) \cdot (-1) - 1 \cdot 1) \vec{j} + ((-3) \cdot 2 - 2 \cdot 1) \vec{k} = -4\vec{i} - 2\vec{j} - 8\vec{k}$

4. $A = -2\vec{i} - 2\vec{j} + 4\vec{k}$, $B = \frac{1}{2}\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k}$

$A \times B = \begin{vmatrix}

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\

-2 & -2 & 4 \\

\frac{1}{2} & -1 & 3

\end{vmatrix} = ((-2) \cdot 3 - 4 \cdot (-1)) \vec{i} - ((-2) \cdot 3 - 4 \cdot \frac{1}{2}) \vec{j} + ((-2) \cdot (-1) - (-2) \cdot \frac{1}{2}) \vec{k} = -2\vec{i} + 8\vec{j} + 3\vec{k}$

**演習10-2**

ベクトルのなす角 $\theta$ は、以下の式で求められます。

$|A \times B| = |A||B| \sin{\theta}$

したがって、

$\sin{\theta} = \frac{|A \times B|}{|A||B|}$

$\theta = \arcsin{\frac{|A \times B|}{|A||B|}}$

$A = \vec{i} + \vec{j}$, $B = 2\vec{i} + 2\vec{j} + 2\sqrt{6}\vec{k}$

$A \times B = \begin{vmatrix}

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\

1 & 1 & 0 \\

2 & 2 & 2\sqrt{6}

\end{vmatrix} = (1 \cdot 2\sqrt{6} - 0 \cdot 2) \vec{i} - (1 \cdot 2\sqrt{6} - 0 \cdot 2) \vec{j} + (1 \cdot 2 - 1 \cdot 2) \vec{k} = 2\sqrt{6}\vec{i} - 2\sqrt{6}\vec{j} + 0\vec{k}$

$|A \times B| = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 + (-2\sqrt{6})^2 + 0^2} = \sqrt{24 + 24} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

$|A| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$|B| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (2\sqrt{6})^2} = \sqrt{4 + 4 + 24} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

$\sin{\theta} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta = \arcsin{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$

3. 最終的な答え

演習10-1

1. $A \times B = \vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}$

2. $A \times B = -3\vec{i} - 4\vec{j} - 3\vec{k}$

3. $A \times B = -4\vec{i} - 2\vec{j} - 8\vec{k}$

4. $A \times B = -2\vec{i} + 8\vec{j} + 3\vec{k}$

演習10-2

$\theta = 60^\circ$