正八角形の3つの頂点を結んで三角形を作るとき、以下の数を求めます。 (1) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数 (2) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数 (3) 正八角形と1辺も共有しない三角形の個数

1. 問題の内容

正八角形の3つの頂点を結んで三角形を作るとき、以下の数を求めます。

(1) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数

(2) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数

(3) 正八角形と1辺も共有しない三角形の個数

2. 解き方の手順

(1) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数：

まず、正八角形の1つの辺を選びます。これは8通りの選び方があります。

次に、選んだ辺以外の頂点を1つ選びます。ただし、選んだ辺に隣接する頂点は除きます。つまり、6つの頂点のうち2つを除いた4つの頂点から1つを選ぶ必要があります。

したがって、1つの辺に対して4つの三角形を作ることができます。

したがって、合計で $8 \times 4 = 32$ 個の三角形を作ることができます。

(2) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数：

正八角形の隣り合う2つの辺を選ぶと、自動的に三角形が1つ決まります。正八角形には8つの頂点があるので、隣り合う2辺の選び方は8通りあります。

したがって、正八角形と2辺を共有する三角形は8個です。

(3) 正八角形と1辺も共有しない三角形の個数：

正八角形の頂点から3つを選んで三角形を作る総数は、

$\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 個です。

このうち、正八角形と1辺だけを共有する三角形は32個、2辺を共有する三角形は8個です。

したがって、1辺も共有しない三角形の個数は、

$56 - 32 - 8 = 16$ 個です。

3. 最終的な答え

(1) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数：32個

(2) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数：8個

(3) 正八角形と1辺も共有しない三角形の個数：16個