1辺の長さが $p$ の正方形の花壇の周りに幅 $a$ の道がついている。道の面積を $S$ 、道の真ん中を通る線の長さを $l$ とするとき、$S = al$ となることを証明する。

1. 問題の内容

1辺の長さが $p$ の正方形の花壇の周りに幅 $a$ の道がついている。道の面積を $S$ 、道の真ん中を通る線の長さを $l$ とするとき、$S = al$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を求める。

外側の正方形の一辺の長さは $p + 2a$ なので、面積は $(p + 2a)^2$ である。

花壇の面積は $p^2$ なので、道の面積 $S$ は、

$S = (p + 2a)^2 - p^2$

$S = p^2 + 4ap + 4a^2 - p^2$

$S = 4ap + 4a^2$

次に、道の真ん中を通る線の長さ $l$ を求める。

道の真ん中を通る正方形の一辺の長さは $p + a$ なので、

$l = 4(p + a) = 4p + 4a$

したがって、$al$ は、

$al = a(4p + 4a)$

$al = 4ap + 4a^2$

よって、$S = al$ となる。

3. 最終的な答え

$S = al$