(1) 正五角形の面から作られる正十二面体について、頂点の数と辺の数を求める。面の数は12である。 (2) 正二十面体について、頂点の数と辺の数を求める。各面は合同な正三角形であり、一つの頂点に集まる面の数は5である。また、一つの辺に集まる面の数は2である。

1. 問題の内容

(1) 正五角形の面から作られる正十二面体について、頂点の数と辺の数を求める。面の数は12である。

(2) 正二十面体について、頂点の数と辺の数を求める。各面は合同な正三角形であり、一つの頂点に集まる面の数は5である。また、一つの辺に集まる面の数は2である。

2. 解き方の手順

(1) 正十二面体について：

* 面の数: $F = 12$

* 各面は正五角形であるから、一つの面に5つの辺がある。よって、辺の総数は $12 \times 5 = 60$ となる。しかし、各辺は2つの面に共有されるため、辺の数 $E$ は $E = \frac{12 \times 5}{2} = 30$ である。

* オイラーの多面体公式 $V - E + F = 2$ を用いる。ここで、$V$ は頂点の数、$E$ は辺の数、$F$ は面の数である。

$V - 30 + 12 = 2$

$V = 2 + 30 - 12 = 20$

したがって、頂点の数は20、辺の数は30である。

(2) 正二十面体について：

* 面の数: $F = 20$

* 各面は正三角形である。

* 一つの頂点に集まる面の数は5である。各面は3つの頂点を持つため、頂点の総数は $20 \times 3 = 60$ となる。しかし、各頂点には5つの面が集まるため、頂点の数 $V$ は $V = \frac{20 \times 3}{5} = 12$ である。

* 各面は3つの辺を持つため、辺の総数は $20 \times 3 = 60$ となる。しかし、各辺は2つの面に共有されるため、辺の数 $E$ は $E = \frac{20 \times 3}{2} = 30$ である。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の数は 20 であり、辺の数は 30 である。

(2) 頂点の数は 12 であり、辺の数は 30 である。