一辺の長さが $a$ の正八面体について、以下のものを求めよ。 (1) 表面積 $S$ (2) 体積 $V$ (3) 内接する球の半径 $r$

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の正八面体について、以下のものを求めよ。

(1) 表面積 $S$

(2) 体積 $V$

(3) 内接する球の半径 $r$

2. 解き方の手順

(1) 正八面体は、正三角形8個から構成される。正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ である。したがって、表面積$S$は、

$S = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 2\sqrt{3} a^2$

(2) 正八面体は、底面が正方形で高さが $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ の四角錐2つを合わせたものと考えることができる。

正方形の面積は $a^2$であるので、四角錐の体積は、

$\frac{1}{3} \times a^2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}a = \frac{\sqrt{2}}{6}a^3$

したがって、正八面体の体積$V$は、

$V = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{6}a^3 = \frac{\sqrt{2}}{3}a^3$

(3) 正八面体の体積 $V$ は、正八面体を8個の合同な四面体に分割し、各四面体の頂点から中心に垂線を下ろした時の足が内接球の中心となることを利用して求めることができる。

各四面体の体積は、$V_1 = \frac{1}{8}V = \frac{\sqrt{2}}{24}a^3$

また、各四面体の底面積は $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ である。

内接球の半径を $r$ とすると、四面体の体積は、

$V_1 = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times r = \frac{\sqrt{3}}{12}a^2 r$

したがって、

$\frac{\sqrt{2}}{24}a^3 = \frac{\sqrt{3}}{12}a^2 r$

$r = \frac{\sqrt{2}}{24} \times \frac{12}{\sqrt{3}}a = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3} } \times \frac{1}{2}a = \frac{\sqrt{6}}{12}a$

3. 最終的な答え

(1) 表面積 $S = 2\sqrt{3} a^2$

(2) 体積 $V = \frac{\sqrt{2}}{3}a^3$

(3) 内接する球の半径 $r = \frac{\sqrt{6}}{12}a$