三角形の2辺の長さ $a=4$, $b=5$ とその間の角 $C=135^\circ$ が与えられているとき、残りの辺の長さ $c$ を求める。

1. 問題の内容

三角形の2辺の長さ $a=4$, $b=5$ とその間の角 $C=135^\circ$ が与えられているとき、残りの辺の長さ $c$ を求める。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて辺 $c$ の長さを計算します。余弦定理は次の式で表されます。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

与えられた値を代入すると、

$c^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos 135^\circ$

ここで、$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$c^2 = 16 + 25 - 40 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$c^2 = 41 + 20\sqrt{2}$

$c = \sqrt{41 + 20\sqrt{2}}$

3. 最終的な答え

$c = \sqrt{41 + 20\sqrt{2}}$