点 A(-1, -1) と点 B(4, 4) を通り、中心が直線 $y = 2x - 9$ 上にある円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点 A(-1, -1) と点 B(4, 4) を通り、中心が直線 $y = 2x - 9$ 上にある円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の中心を $(a, b)$ とすると、この点は直線 $y = 2x - 9$ 上にあるので、

$b = 2a - 9$

と表せる。

したがって、円の中心は $(a, 2a - 9)$ となる。

点 A, B は円周上の点なので、中心からの距離は等しい。

つまり、$(a + 1)^2 + (2a - 9 + 1)^2 = (a - 4)^2 + (2a - 9 - 4)^2$

$(a + 1)^2 + (2a - 8)^2 = (a - 4)^2 + (2a - 13)^2$

$a^2 + 2a + 1 + 4a^2 - 32a + 64 = a^2 - 8a + 16 + 4a^2 - 52a + 169$

$5a^2 - 30a + 65 = 5a^2 - 60a + 185$

$30a = 120$

$a = 4$

$b = 2a - 9 = 2(4) - 9 = 8 - 9 = -1$

したがって、円の中心は (4, -1) となる。

円の半径 $r$ は、中心 (4, -1) と点 A(-1, -1) の距離である。

$r^2 = (4 + 1)^2 + (-1 + 1)^2 = 5^2 + 0^2 = 25$

$r = 5$

よって、円の方程式は $(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 25$ となる。

3. 最終的な答え

$(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 25$