正十角形について以下の数を求める問題です。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数 (3) 2個の頂点を結ぶ線分の本数 (4) 対角線の本数

1. 問題の内容

正十角形について以下の数を求める問題です。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数

(3) 2個の頂点を結ぶ線分の本数

(4) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 正十角形の10個の頂点から3個を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは組み合わせの公式 $_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できます。

$_{10}C_{3} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

(2) 正十角形の10個の頂点から4個を選ぶ組み合わせの数を求めます。

$_{10}C_{4} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

(3) 正十角形の10個の頂点から2個を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは全ての線分の数になります。

$_{10}C_{2} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 5 \times 9 = 45$

(4) 対角線の数は、全ての線分の数から辺の数を引いたものです。正十角形の辺の数は10です。

対角線の数 = 全ての線分の数 - 辺の数 = 45 - 10 = 35

3. 最終的な答え

(1) 120個

(2) 210個

(3) 45本

(4) 35本