問題は、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の三角関数の方程式と不等式を解くことです。 (1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $2\cos \theta + \sqrt{2} > 0$

1. 問題の内容

問題は、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の三角関数の方程式と不等式を解くことです。

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $2\cos \theta + \sqrt{2} > 0$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$となる$\theta$を単位円で考えます。

$0 \le \theta < 2\pi$の範囲で、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$を満たす$\theta$は、$\theta = \frac{\pi}{3}$と$\theta = \frac{2\pi}{3}$です。

(2) $2\cos \theta + \sqrt{2} > 0$

まず、不等式を変形します。

$2\cos \theta + \sqrt{2} > 0$

$2\cos \theta > -\sqrt{2}$

$\cos \theta > -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \theta > -\frac{\sqrt{2}}{2}$となる$\theta$の範囲を単位円で考えます。

$0 \le \theta < 2\pi$の範囲で、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$となる$\theta$は$\theta = \frac{3\pi}{4}$と$\theta = \frac{5\pi}{4}$です。

したがって、$\cos \theta > -\frac{\sqrt{2}}{2}$となる$\theta$の範囲は、 $0 \le \theta < \frac{3\pi}{4}$と$\frac{5\pi}{4} < \theta < 2\pi$です。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

(2) $0 \le \theta < \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} < \theta < 2\pi$