半径 $r$ の球を平面で2つに切断したとき、2つの部分の体積の比が $20:7$ になるようにするには、球の中心からどのくらいの距離で切ればよいかを求める問題です。

1. 問題の内容

半径 $r$ の球を平面で2つに切断したとき、2つの部分の体積の比が $20:7$ になるようにするには、球の中心からどのくらいの距離で切ればよいかを求める問題です。

2. 解き方の手順

球の半径を $r$ とし、切断面から球の中心までの距離を $h$ とします。

球の体積は $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ です。

2つの部分の体積の比が $20:7$ なので、小さい方の部分の体積を $V_1$、大きい方の部分の体積を $V_2$ とすると、$V_1 : V_2 = 7 : 20$ となります。

したがって、$V_1 + V_2 = V$ であり、$V_1 = \frac{7}{27}V = \frac{7}{27} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{28}{81}\pi r^3$ です。

球を平面で切ったときの球冠の体積は、高さが $(r-h)$ のとき、$V_1 = \frac{1}{3}\pi (r-h)^2 (2r+h)$ で与えられます。

したがって、

$\frac{1}{3}\pi (r-h)^2 (2r+h) = \frac{28}{81}\pi r^3$

$(r-h)^2 (2r+h) = \frac{28}{27} r^3$

$(r^2 - 2rh + h^2)(2r+h) = \frac{28}{27} r^3$

$2r^3 + r^2 h - 4r^2 h - 2rh^2 + 2rh^2 + h^3 = \frac{28}{27} r^3$

$2r^3 - 3r^2 h + h^3 = \frac{28}{27} r^3$

$h^3 - 3r^2 h + \frac{26}{27} r^3 = 0$

$27h^3 - 81r^2h + 26r^3 = 0$

$x = h/r$ とおくと、

$27x^3 - 81x + 26 = 0$

$(3x-1)(9x^2 + 3x - 26) = 0$

$x = \frac{1}{3}, x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot 9 \cdot 26}}{18} = \frac{-3 \pm \sqrt{945}}{18} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{105}}{18} = \frac{-1 \pm \sqrt{105}}{6}$

$x$ は $-1 \le x \le 1$ を満たす必要があるので、$x = 1/3$ が解となります。

したがって、$h = \frac{1}{3}r$。

球の中心から $\frac{1}{3}r$ の距離にある平面で切ればよい。

3. 最終的な答え

球の中心から $\frac{1}{3}r$ の距離にある平面で切ればよい。