$\theta$ の動径が第4象限にあり、$\sin \theta = -\frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

## 練習8

1. 問題の内容

$\theta$ の動径が第4象限にあり、$\sin \theta = -\frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

三角関数の相互関係 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用する。

$\sin \theta = -\frac{1}{3}$ を代入して $\cos \theta$ を求める。

$$(-\frac{1}{3})^2 + \cos^2 \theta = 1$$

$$\frac{1}{9} + \cos^2 \theta = 1$$

$$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$

$$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

$\theta$ の動径が第4象限にあるとき、$\cos \theta$ は正であるので、

$$\cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して $\tan \theta$ を求める。

$$\tan \theta = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

## 練習9

1. 問題の内容

$\theta$ の動径が第3象限にあり、$\tan \theta = 2$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

三角関数の相互関係 $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を利用する。

$\tan \theta = 2$ を代入して $\cos \theta$ を求める。

$$1 + 2^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$

$$1 + 4 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$

$$5 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$

$$\cos^2 \theta = \frac{1}{5}$$

$$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$$

$\theta$ の動径が第3象限にあるとき、$\cos \theta$ は負であるので、

$$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して $\sin \theta$ を求める。

$$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{5}}{5}) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$