(1) $\triangle ABC$ において、$AB=12$、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$、辺 $AB$ を $5:4$ に内分する点を $E$、辺 $AC$ を $1:6$ に内分する点を $F$ とする。線分 $AD$, $CE$, $BF$ が1点で交わるとき、辺 $AC$ の長さを求めよ。 (2) 1辺の長さが2の正三角形 $ABC$ がある。辺 $AB$ を $3:1$ に内分する点を $P$、辺 $BC$ の中点を $Q$ とし、線分 $CP$ と $AQ$ の交点を $R$ とする。このとき、三角形 $ABR$ の面積を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\triangle ABC$ において、$AB=12$、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$、辺 $AB$ を $5:4$ に内分する点を $E$、辺 $AC$ を $1:6$ に内分する点を $F$ とする。線分 $AD$, $CE$, $BF$ が1点で交わるとき、辺 $AC$ の長さを求めよ。

(2) 1辺の長さが2の正三角形 $ABC$ がある。辺 $AB$ を $3:1$ に内分する点を $P$、辺 $BC$ の中点を $Q$ とし、線分 $CP$ と $AQ$ の交点を $R$ とする。このとき、三角形 $ABR$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) チェバの定理の逆と角の二等分線の性質を利用する。

線分 $AD$, $CE$, $BF$ が1点で交わるので、チェバの定理より

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\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1

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条件より、$AE/EB = 5/4$, $CF/FA = 6/1$ なので、

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\frac{5}{4} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{6}{1} = 1

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\frac{BD}{DC} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}

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また、$AD$ は $\angle A$ の二等分線であるから、角の二等分線の性質より

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\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}

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よって、

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\frac{12}{AC} = \frac{2}{15}

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AC = \frac{12 \cdot 15}{2} = 6 \cdot 15 = 90

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(2) メネラウスの定理と三角形の面積比を利用する。

$\triangle ABQ$ において直線 $CP$ についてメネラウスの定理より

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\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QR}{RA} = 1

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条件より、$AP/PB = 3/1$, $BC/CQ = 2/1$ なので、

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\frac{3}{1} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{QR}{RA} = 1

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\frac{QR}{RA} = \frac{1}{6}

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\frac{AR}{AQ} = \frac{6}{7}

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正三角形 $ABC$ の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2^2 = \sqrt{3}$

$AQ$ は中線なので、$\triangle ABQ = \frac{1}{2} \triangle ABC = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$\triangle ABR = \frac{AR}{AQ} \triangle ABQ = \frac{6}{7} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $AC = 90$

(2) $\triangle ABR = \frac{3\sqrt{3}}{7}$