円 $x^2 + y^2 = 50$ の接線で、(1) 直線 $x+y=1$ に平行なもの、(2) 直線 $7x+y=-2$ に垂直なもののそれぞれについて、接線の方程式と接点の座標を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 50$ の接線で、(1) 直線 $x+y=1$ に平行なもの、(2) 直線 $7x+y=-2$ に垂直なもののそれぞれについて、接線の方程式と接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $x+y=1$ に平行な接線を求める。

* 平行な直線の傾きは等しいので、求める接線の傾きは $-1$ である。

* よって、接線の方程式を $y = -x + k$ とおく。

* これを $x^2 + y^2 = 50$ に代入して、$x$ についての二次方程式を得る。

* 接線なので、判別式 $D=0$ となる。

* 判別式から $k$ の値を求める。

* $k$ の値を接線の方程式に代入し、接線の方程式を得る。

* $x$ についての二次方程式の解を求めることで、接点の $x$ 座標を得る。

* 接点の $x$ 座標を接線の方程式に代入することで、接点の $y$ 座標を得る。

(2) 直線 $7x+y=-2$ に垂直な接線を求める。

* 垂直な直線の傾きの積は $-1$ なので、求める接線の傾きは $\frac{1}{7}$ である。

* よって、接線の方程式を $y = \frac{1}{7}x + l$ とおく。

* これを $x^2 + y^2 = 50$ に代入して、$x$ についての二次方程式を得る。

* 接線なので、判別式 $D=0$ となる。

* 判別式から $l$ の値を求める。

* $l$ の値を接線の方程式に代入し、接線の方程式を得る。

* $x$ についての二次方程式の解を求めることで、接点の $x$ 座標を得る。

* 接点の $x$ 座標を接線の方程式に代入することで、接点の $y$ 座標を得る。

3. 最終的な答え

(1)

接線の方程式: $y = -x \pm 10$ つまり $x+y = \pm 10$

接点の座標: $(5, 5), (-5, -5)$

(2)

接線の方程式: $y = \frac{1}{7}x \pm \frac{50}{7}$ つまり $x-7y = \pm 50$

接点の座標: $(7, -1), (-7, 1)$