4点A(5, 2, 5), B(4, 2, 3), C(3, 1, 2), D(-2, -1, z)が同一平面上にあるとき、zの値を求める問題です。

1. 問題の内容

4点A(5, 2, 5), B(4, 2, 3), C(3, 1, 2), D(-2, -1, z)が同一平面上にあるとき、zの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

4点が同一平面上にある条件は、ある1点から他の3点へ向かうベクトルが同一平面上にある、つまり、これらのベクトルが一次従属であるということです。これは、これらのベクトルで作られる行列式が0になることで確認できます。

まず、点Aから他の3点へのベクトルを求めます。

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-5 \\ 2-2 \\ 3-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 3-5 \\ 1-2 \\ 2-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} -2-5 \\ -1-2 \\ z-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -3 \\ z-5 \end{pmatrix}$

4点A, B, C, Dが同一平面上にあるとき、ベクトル$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$は一次従属であるため、以下の行列式が0になります。

$\begin{vmatrix} -1 & -2 & -7 \\ 0 & -1 & -3 \\ -2 & -3 & z-5 \end{vmatrix} = 0$

この行列式を計算します。

$-1((-1)(z-5) - (-3)(-3)) - (-2)(0 - (-3)(-2)) + (-7)(0 - (-1)(-2)) = 0$

$-1(-z+5-9) + 2(-6) - 7(-2) = 0$

$z+4 - 12 + 14 = 0$

$z+6 = 0$

$z = -6$

3. 最終的な答え

z = -6