円に内接する四角形ABCDにおいて、AB = 3, BC = 7, CD = 5, DA = 5 とする。このとき、BDの長さを求めよ。また、四角形ABCDの面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB = 3, BC = 7, CD = 5, DA = 5 とする。このとき、BDの長さを求めよ。また、四角形ABCDの面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、BDの長さを求める。四角形ABCDは円に内接するので、向かい合う角の和は180°である。

∠A = θ とすると、∠C = 180° - θ となる。

△ABDにおいて、余弦定理より

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A$

$BD^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos \theta$

$BD^2 = 9 + 25 - 30 \cos \theta$

$BD^2 = 34 - 30 \cos \theta$ (1)

△BCDにおいて、余弦定理より

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos C$

$BD^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos (180^\circ - \theta)$

$BD^2 = 49 + 25 - 70 \cos (180^\circ - \theta)$

$BD^2 = 74 + 70 \cos \theta$ (2)

(1)と(2)より、

$34 - 30 \cos \theta = 74 + 70 \cos \theta$

$-40 = 100 \cos \theta$

$\cos \theta = -\frac{2}{5}$

これを(1)に代入して、

$BD^2 = 34 - 30 \cdot (-\frac{2}{5})$

$BD^2 = 34 + 12$

$BD^2 = 46$

$BD = \sqrt{46}$

次に、四角形ABCDの面積Sを求める。

四角形ABCDの面積は、△ABDの面積と△BCDの面積の和である。

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AD \sin A + \frac{1}{2} BC \cdot CD \sin C$

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \sin \theta + \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \sin (180^\circ - \theta)$

$S = \frac{15}{2} \sin \theta + \frac{35}{2} \sin \theta$

$S = \frac{50}{2} \sin \theta = 25 \sin \theta$

$\cos \theta = -\frac{2}{5}$ より、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (-\frac{2}{5})^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$

(∵ $0 < \theta < 180^\circ$ より、$\sin \theta > 0$)

したがって、$S = 25 \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} = 5\sqrt{21}$

3. 最終的な答え

BDの長さ: $\sqrt{46}$

四角形ABCDの面積: $5\sqrt{21}$