四面体ABCDに対して、等式 $\overrightarrow{AP}+3\overrightarrow{BP}+4\overrightarrow{CP}+8\overrightarrow{DP}=\vec{0}$ を満たす点Pはどのような位置にあるか。

1. 問題の内容

四面体ABCDに対して、等式 $\overrightarrow{AP}+3\overrightarrow{BP}+4\overrightarrow{CP}+8\overrightarrow{DP}=\vec{0}$ を満たす点Pはどのような位置にあるか。

2. 解き方の手順

まず、始点をAに統一します。

$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{DP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AD}$ を代入します。

$\overrightarrow{AP} + 3(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) + 4(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}) + 8(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AD}) = \vec{0}$

$\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{AP} - 3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AP} - 4\overrightarrow{AC} + 8\overrightarrow{AP} - 8\overrightarrow{AD} = \vec{0}$

$(1+3+4+8)\overrightarrow{AP} = 3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} + 8\overrightarrow{AD}$

$16\overrightarrow{AP} = 3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} + 8\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} + 8\overrightarrow{AD}}{16}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} + 8\overrightarrow{AD}}{3+4+8} \cdot \frac{3+4+8}{16}$

ここで、点Eを $\overrightarrow{AE} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} + 8\overrightarrow{AD}}{3+4+8} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} + 8\overrightarrow{AD}}{15}$ を満たす点とすると、点Eは四面体ABCDの内部の点であり、点B, C, Dを頂点とする平面上に存在します。

さらに、点Fを $3\overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{AB}$、点Gを $4\overrightarrow{AG} = 4\overrightarrow{AC}$、点Hを $8\overrightarrow{AH} = 8\overrightarrow{AD}$ とすると、

点Fは点Bと一致し、点Gは点Cと一致し、点Hは点Dと一致します。

$\overrightarrow{AP} = \frac{15}{16} \overrightarrow{AE}$

したがって、点Pは線分AEを15:1に内分する点です。ここで、点Eは線分BCを4:3に内分する点をIとすると、線分IDを8:7に内分する点となります。

よって、点Pは四面体ABCD内部の点であり、線分AEを15:1に内分する点です。

3. 最終的な答え

点Pは、線分BCを4:3に内分する点をIとし、線分IDを8:7に内分する点をEとすると、線分AEを15:1に内分する点である。