$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = -4$ である。$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = -4$ である。$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = -4$ であることから、$\tan^2 \theta = 16$ となる。

三角関数の相互関係より、以下の公式が成り立つ。

$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

これに$\tan^2 \theta = 16$を代入すると、

$1 + 16 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$17 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{17}$

したがって、$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{17}}$ となる。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で $\tan \theta = -4 < 0$ であるから、$\theta$ は第2象限の角であり、$\cos \theta < 0$ である。

よって、$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{17}}$

$\sin \theta$ の値を求めるために、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用する。

$-4 = \frac{\sin \theta}{-\frac{1}{\sqrt{17}}}$

$\sin \theta = -4 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{17}}) = \frac{4}{\sqrt{17}}$

したがって、$\sin \theta = \frac{4}{\sqrt{17}}$ となる。

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{17}} = -\frac{\sqrt{17}}{17}$

$\sin \theta = \frac{4}{\sqrt{17}} = \frac{4\sqrt{17}}{17}$