３つの三角形について、指定された辺の長さを求めます。 (1) 角度が $45^\circ$ と $60^\circ$ である三角形の、長さ $\sqrt{2}$ の辺に対向する辺 $c$ の長さを求める。 (2) 角度が $30^\circ$ と $120^\circ$ である三角形の、長さ $\sqrt{6}$ の辺に対向する辺 $a$ の長さを求める。 (3) 角度が $105^\circ$ と $30^\circ$ である三角形の、長さ $4$ の辺に対向する辺 $b$ の長さを求める。

1. 問題の内容

３つの三角形について、指定された辺の長さを求めます。

(1) 角度が $45^\circ$ と $60^\circ$ である三角形の、長さ $\sqrt{2}$ の辺に対向する辺 $c$ の長さを求める。

(2) 角度が $30^\circ$ と $120^\circ$ である三角形の、長さ $\sqrt{6}$ の辺に対向する辺 $a$ の長さを求める。

(3) 角度が $105^\circ$ と $30^\circ$ である三角形の、長さ $4$ の辺に対向する辺 $b$ の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、残りの角Aは $180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$ です。

正弦定理より、$\frac{c}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 75^\circ}$ が成り立ちます。

$\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

したがって、

$c = \frac{\sqrt{2} \sin 60^\circ}{\sin 75^\circ} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{2(6-2\sqrt{3})}{6-2} = \frac{12-4\sqrt{3}}{4} = 3 - \sqrt{3}$.

(2)

三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、残りの角Cは $180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ$ です。

正弦定理より、$\frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 120^\circ}$ が成り立ちます。

したがって、

$a = \frac{\sqrt{6} \sin 30^\circ}{\sin 120^\circ} = \frac{\sqrt{6} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$.

(3)

三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、残りの角Bは $180^\circ - 105^\circ - 30^\circ = 45^\circ$ です。

正弦定理より、$\frac{b}{\sin 45^\circ} = \frac{4}{\sin 30^\circ}$ が成り立ちます。

したがって、

$b = \frac{4 \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2}$.

3. 最終的な答え

(1) $c = 3 - \sqrt{3}$

(2) $a = \sqrt{2}$

(3) $b = 4\sqrt{2}$