円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $x + 3y + c = 0$ が異なる2点で交わるとき、定数 $c$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $x + 3y + c = 0$ が異なる2点で交わるとき、定数 $c$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

円の中心と直線の距離 $d$ が、円の半径 $r$ よりも小さいとき、円と直線は異なる2点で交わる。

円 $x^2 + y^2 = 5$ の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は $r = \sqrt{5}$ である。

点 $(0, 0)$ と直線 $x + 3y + c = 0$ の距離 $d$ は、点と直線の距離の公式を用いて計算できる。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は

$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

で与えられる。

この問題では、点 $(0, 0)$ と直線 $x + 3y + c = 0$ の距離なので、

$$d = \frac{|0 + 0 + c|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{10}}$$

円と直線が異なる2点で交わるためには、$d < r$ でなければならないので、

$$\frac{|c|}{\sqrt{10}} < \sqrt{5}$$

$$|c| < \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

したがって、

$$-5\sqrt{2} < c < 5\sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

$-5\sqrt{2} < c < 5\sqrt{2}$