与えられた三角形 $ABC$ において、外接円の半径 $R$ を求めます。問題は120Aと120Bに分かれており、それぞれ3問ずつあります。

1. 問題の内容

与えられた三角形 $ABC$ において、外接円の半径 $R$ を求めます。問題は120Aと120Bに分かれており、それぞれ3問ずつあります。

2. 解き方の手順

正弦定理を使います。正弦定理は、三角形 $ABC$ において、以下の関係が成り立つというものです。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

ここで、$a, b, c$ はそれぞれの角 $A, B, C$ の対辺の長さ、$R$ は外接円の半径です。

120A

(1) $b = 5$, $B = 45^\circ$ のとき

$\frac{b}{\sin B} = 2R$ より、

$\frac{5}{\sin 45^\circ} = 2R$

$\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、

$\frac{5}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 2R$

$5\sqrt{2} = 2R$

$R = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

(2) $c = 10$, $C = 60^\circ$ のとき

$\frac{c}{\sin C} = 2R$ より、

$\frac{10}{\sin 60^\circ} = 2R$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{20}{\sqrt{3}} = 2R$

$R = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$

(3) $a = 3$, $A = 120^\circ$ のとき

$\frac{a}{\sin A} = 2R$ より、

$\frac{3}{\sin 120^\circ} = 2R$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{6}{\sqrt{3}} = 2R$

$R = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

120B

(1) $c = \sqrt{3}$, $C = 150^\circ$ のとき

$\frac{c}{\sin C} = 2R$ より、

$\frac{\sqrt{3}}{\sin 150^\circ} = 2R$

$\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ なので、

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 2R$

$2\sqrt{3} = 2R$

$R = \sqrt{3}$

(2) $a = \sqrt{6}$, $A = 120^\circ$ のとき

$\frac{a}{\sin A} = 2R$ より、

$\frac{\sqrt{6}}{\sin 120^\circ} = 2R$

$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2R$

$2\sqrt{2} = 2R$

$R = \sqrt{2}$

(3) $b = 8$, $A = 60^\circ$, $C = 75^\circ$ のとき

$B = 180^\circ - (A + C) = 180^\circ - (60^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

$\frac{b}{\sin B} = 2R$ より、

$\frac{8}{\sin 45^\circ} = 2R$

$\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、

$\frac{8}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 2R$

$8\sqrt{2} = 2R$

$R = 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

120A

(1) $R = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

(2) $R = \frac{10\sqrt{3}}{3}$

(3) $R = \sqrt{3}$

120B

(1) $R = \sqrt{3}$

(2) $R = \sqrt{2}$

(3) $R = 4\sqrt{2}$