次の円の方程式を求めます。 (1) 点$(2, 1)$を中心とし、直線$x + 2y + 1 = 0$に接する円 (2) 中心が直線$y = x + 1$上にあり、$x$軸に接して、点$(3, 2)$を通る円

1. 問題の内容

次の円の方程式を求めます。

(1) 点$(2, 1)$を中心とし、直線$x + 2y + 1 = 0$に接する円

(2) 中心が直線$y = x + 1$上にあり、$x$軸に接して、点$(3, 2)$を通る円

2. 解き方の手順

(1) 円の中心$(2, 1)$と直線$x + 2y + 1 = 0$との距離が半径$r$となるので、$r$を求めます。点と直線の距離の公式は、点$(x_0, y_0)$と直線$ax + by + c = 0$の距離$d$について、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

となります。これを用いると、

$r = \frac{|1\cdot2 + 2\cdot1 + 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 2 + 1|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

よって、求める円の方程式は

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{5})^2$

すなわち、

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5$

となります。

(2) 円の中心は直線$y = x + 1$上にあるので、中心の座標を$(a, a + 1)$とおけます。また、$x$軸に接するので、半径は$|a + 1|$となります。

よって、円の方程式は

$(x - a)^2 + (y - (a + 1))^2 = (a + 1)^2$

この円が点$(3, 2)$を通るので、

$(3 - a)^2 + (2 - (a + 1))^2 = (a + 1)^2$

$(3 - a)^2 + (1 - a)^2 = (a + 1)^2$

$9 - 6a + a^2 + 1 - 2a + a^2 = a^2 + 2a + 1$

$a^2 - 10a + 9 = 0$

$(a - 1)(a - 9) = 0$

$a = 1, 9$

$a = 1$のとき、円の方程式は

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2^2$

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

$a = 9$のとき、円の方程式は

$(x - 9)^2 + (y - 10)^2 = 10^2$

$(x - 9)^2 + (y - 10)^2 = 100$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5$

(2) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$、$(x - 9)^2 + (y - 10)^2 = 100$