写真に写っている数学の問題（120A, 120B, 121A, 121B）を解きます。 * **120A**: 与えられた△ABCについて、外接円の半径Rを求めます。 (1) $b=5$, $B=45^{\circ}$ (2) $c=10$, $C=60^{\circ}$ (3) $a=3$, $A=120^{\circ}$ * **120B**: 与えられた△ABCについて、外接円の半径Rを求めます。 (1) $c=\sqrt{3}$, $C=150^{\circ}$ (2) $a=\sqrt{6}$, $A=120^{\circ}$ (3) $b=8$, $A=60^{\circ}$, $C=75^{\circ}$ * **121A**: 与えられた△ABCについて、指定された辺または角を求めます。 (1) $c=3$, $A=135^{\circ}$, $C=30^{\circ}$のとき、$a$を求めます。 (2) $a=4$, $B=75^{\circ}$, $C=45^{\circ}$のとき、$c$を求めます。 * **121B**: 与えられた△ABCについて、指定された辺または角を求めます。 (1) $a=12$, $A=30^{\circ}$, $B=45^{\circ}$のとき、$b$を求めます。 (2) $b=\sqrt{2}$, $A=45^{\circ}$, $C=15^{\circ}$のとき、$a$を求めます。

## 問題の回答

1. 問題の内容

写真に写っている数学の問題（120A, 120B, 121A, 121B）を解きます。

* **120A**: 与えられた△ABCについて、外接円の半径Rを求めます。

(1) $b=5$, $B=45^{\circ}$

(2) $c=10$, $C=60^{\circ}$

(3) $a=3$, $A=120^{\circ}$

* **120B**: 与えられた△ABCについて、外接円の半径Rを求めます。

(1) $c=\sqrt{3}$, $C=150^{\circ}$

(2) $a=\sqrt{6}$, $A=120^{\circ}$

(3) $b=8$, $A=60^{\circ}$, $C=75^{\circ}$

* **121A**: 与えられた△ABCについて、指定された辺または角を求めます。

(1) $c=3$, $A=135^{\circ}$, $C=30^{\circ}$のとき、$a$を求めます。

(2) $a=4$, $B=75^{\circ}$, $C=45^{\circ}$のとき、$c$を求めます。

* **121B**: 与えられた△ABCについて、指定された辺または角を求めます。

(1) $a=12$, $A=30^{\circ}$, $B=45^{\circ}$のとき、$b$を求めます。

(2) $b=\sqrt{2}$, $A=45^{\circ}$, $C=15^{\circ}$のとき、$a$を求めます。

2. 解き方の手順

正弦定理: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ を用いて問題を解きます。

* **120A**：外接円の半径Rを求める問題。正弦定理より、$2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ であるから、$R$を求められます。

(1) $2R = \frac{5}{\sin 45^{\circ}} = \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$. よって, $R = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

(2) $2R = \frac{10}{\sin 60^{\circ}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$. よって, $R = \frac{10\sqrt{3}}{3}$.

(3) $2R = \frac{3}{\sin 120^{\circ}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$. よって, $R = \sqrt{3}$.

* **120B**：外接円の半径Rを求める問題。正弦定理より、$2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ であるから、$R$を求められます。

(1) $2R = \frac{\sqrt{3}}{\sin 150^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{3}$. よって, $R = \sqrt{3}$.

(2) $2R = \frac{\sqrt{6}}{\sin 120^{\circ}} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{2}$. よって, $R = \sqrt{2}$.

(3) まず、$B = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 75^{\circ} = 45^{\circ}$。$2R = \frac{8}{\sin 60^{\circ}} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$. よって, $R = \frac{8\sqrt{3}}{3}$.

* **121A**：指定された辺または角を求める問題。正弦定理を利用します。

(1) 正弦定理より, $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$. よって, $a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{3 \sin 135^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{2}$.

(2) まず、$A = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 45^{\circ} = 60^{\circ}$。正弦定理より, $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$. よって, $c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{4 \sin 45^{\circ}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$.

* **121B**：指定された辺または角を求める問題。正弦定理を利用します。

(1) 正弦定理より, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$. よって, $b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{12 \sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 12\sqrt{2}$.

(2) まず、$B = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 15^{\circ} = 120^{\circ}$。正弦定理より, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$. よって, $a = \frac{b \sin A}{\sin B} = \frac{\sqrt{2} \sin 45^{\circ}}{\sin 120^{\circ}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

3. 最終的な答え

* **120A**

(1) $R = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

(2) $R = \frac{10\sqrt{3}}{3}$

(3) $R = \sqrt{3}$

* **120B**

(1) $R = \sqrt{3}$

(2) $R = \sqrt{2}$

(3) $R = \frac{8\sqrt{3}}{3}$

* **121A**

(1) $a = 3\sqrt{2}$

(2) $c = \frac{4\sqrt{6}}{3}$

* **121B**

(1) $b = 12\sqrt{2}$

(2) $a = \frac{2\sqrt{3}}{3}$