一辺の長さが1の正方形ABCDがあり、各辺を3:4に内分する点をA1, B1, C1, D1とする。同様に正方形A1B1C1D1の各辺を3:4に内分する点をA2, B2, C2, D2とする。この操作を繰り返し、n番目に現れる正方形AnBnCnDnの一辺の長さをanとする。 (1) anをnを用いて表せ。 (2) 正方形ABCDとn番目までに現れる全ての正方形の周の長さの和をnを用いて表せ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正方形ABCDがあり、各辺を3:4に内分する点をA1, B1, C1, D1とする。同様に正方形A1B1C1D1の各辺を3:4に内分する点をA2, B2, C2, D2とする。この操作を繰り返し、n番目に現れる正方形AnBnCnDnの一辺の長さをanとする。

(1) anをnを用いて表せ。

(2) 正方形ABCDとn番目までに現れる全ての正方形の周の長さの和をnを用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$a_1$を求める。正方形ABCDの一辺の長さは1なので、A1B=3/7, BB1=4/7となる。

直角三角形A1BB1において三平方の定理より、

$a_1^2 = (\frac{3}{7})^2 + (\frac{4}{7})^2 = \frac{9}{49} + \frac{16}{49} = \frac{25}{49}$

よって、$a_1 = \sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{5}{7}$

同様に、$a_2$を求める。

$a_2^2 = (\frac{3}{7}a_1)^2 + (\frac{4}{7}a_1)^2 = (\frac{a_1}{7})^2(3^2+4^2) = (\frac{a_1}{7})^2(25) = (\frac{5}{7}a_1)^2$

よって、$a_2 = \frac{5}{7}a_1 = (\frac{5}{7})^2$

一般に、$a_n = (\frac{5}{7})^n$

(2) 正方形ABCDの周の長さは4*1=4である。n番目の正方形の周の長さは$4a_n=4(\frac{5}{7})^n$である。

したがって、n番目までに現れる全ての正方形の周の長さの和Sは、

$S = 4 + 4a_1 + 4a_2 + ... + 4a_n = 4 + 4(\frac{5}{7}) + 4(\frac{5}{7})^2 + ... + 4(\frac{5}{7})^n$

これは初項4、公比5/7の等比数列の初項から(n+1)項までの和である。

$S = \sum_{k=0}^{n} 4(\frac{5}{7})^k = 4\sum_{k=0}^{n} (\frac{5}{7})^k$

等比数列の和の公式より、

$S = 4 \frac{1-(\frac{5}{7})^{n+1}}{1-\frac{5}{7}} = 4 \frac{1-(\frac{5}{7})^{n+1}}{\frac{2}{7}} = 4 \cdot \frac{7}{2} (1-(\frac{5}{7})^{n+1}) = 14(1-(\frac{5}{7})^{n+1})$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = (\frac{5}{7})^n$

(2) $14(1-(\frac{5}{7})^{n+1})$