SENSEI AI
About App

$\triangle ABC$において、$AB = \sqrt{2}$、$AC = 5\sqrt{2}$、$\angle BAC = 60^\circ$ であるとき、以下の値を求める問題です。 ア: $BC$の長さ イ: $\triangle ABC$の面積 ウ: $\triangle ABC$の内接円の半径

幾何学三角形余弦定理面積内接円
2025/6/25

1. 問題の内容

△ABC\triangle ABCにおいて、AB=2AB = \sqrt{2}、AC=52AC = 5\sqrt{2}、∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ であるとき、以下の値を求める問題です。
ア: BCBCの長さ
イ: △ABC\triangle ABCの面積
ウ: △ABC\triangle ABCの内接円の半径

2. 解き方の手順

ア：余弦定理を使ってBCBCの長さを求めます。余弦定理より、
BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡∠BACBC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}
BC2=(2)2+(52)2−2⋅2⋅52⋅cos⁡60∘BC^2 = (\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \cos{60^\circ}
BC2=2+50−2⋅2⋅52⋅12BC^2 = 2 + 50 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}
BC2=52−10BC^2 = 52 - 10
BC2=42BC^2 = 42
BC=42BC = \sqrt{42}
イ：△ABC\triangle ABCの面積を求めます。△ABC\triangle ABCの面積は、
12⋅AB⋅AC⋅sin⁡∠BAC\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin{\angle BAC} で計算できます。
面積 =12⋅2⋅52⋅sin⁡60∘= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sin{60^\circ}
面積 =12⋅10⋅32= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
面積 =532= \frac{5\sqrt{3}}{2}
ウ：△ABC\triangle ABCの内接円の半径をrrとすると、△ABC\triangle ABCの面積は12r(AB+BC+CA)\frac{1}{2}r(AB + BC + CA)でも表せます。
したがって、
532=12r(2+42+52)\frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} r (\sqrt{2} + \sqrt{42} + 5\sqrt{2})
53=r(62+42)5\sqrt{3} = r (6\sqrt{2} + \sqrt{42})
r=5362+42r = \frac{5\sqrt{3}}{6\sqrt{2} + \sqrt{42}}
r=5362+42⋅62−4262−42r = \frac{5\sqrt{3}}{6\sqrt{2} + \sqrt{42}} \cdot \frac{6\sqrt{2} - \sqrt{42}}{6\sqrt{2} - \sqrt{42}}
r=53(62−42)72−42r = \frac{5\sqrt{3}(6\sqrt{2} - \sqrt{42})}{72 - 42}
r=53(62−42)30r = \frac{5\sqrt{3}(6\sqrt{2} - \sqrt{42})}{30}
r=3(62−42)6r = \frac{\sqrt{3}(6\sqrt{2} - \sqrt{42})}{6}
r=66−1266r = \frac{6\sqrt{6} - \sqrt{126}}{6}
r=66−3146r = \frac{6\sqrt{6} - 3\sqrt{14}}{6}
r=6/1−14/2r = \sqrt{6} / 1 - \sqrt{14} / 2
面積 =(1/2)∗r∗(AB+BC+CA) = (1/2) * r * ( AB + BC + CA)
面積 = 53/25\sqrt{3} / 2
半径　＝　2∗(53/2)(2+42+52)\frac{2* (5\sqrt{3} / 2)}{ (\sqrt{2} + \sqrt{42} + 5\sqrt{2} )}
半径 = 53(62+42)\frac{ 5\sqrt{3} }{ (6\sqrt{2} + \sqrt{42} )}
6/1−14/2\sqrt{6} / 1 - \sqrt{14} / 2
半径　= ( 53(62+42)\frac{ 5\sqrt{3} }{ (6\sqrt{2} + \sqrt{42} )})*(62−4262−42)(\frac{ 6\sqrt{2} - \sqrt{42} }{ 6\sqrt{2} - \sqrt{42} })
半径= (306−512672−42)(\frac{30\sqrt{6} - 5\sqrt{126}}{72 - 42})
半径= (306−151430)(\frac{30\sqrt{6} - 15\sqrt{14}}{30})
半径= (26−142)(\frac{2\sqrt{6} - \sqrt{14}}{2})

3. 最終的な答え

ア: 42\sqrt{42}
イ: 532\frac{5\sqrt{3}}{2}
ウ: 26−142\frac{2\sqrt{6}-\sqrt{14}}{2}

「幾何学」の関連問題

３つの三角形について、指定された辺の長さを求めます。 (1) 角度が $45^\circ$ と $60^\circ$ である三角形の、長さ $\sqrt{2}$ の辺に対向する辺 $c$ の長さを求め...

三角比正弦定理三角形角度
2025/6/25

$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ および $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ であるとき、$\theta = \frac{3\p...

三角関数単位円角度
2025/6/25

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\theta$ を求める。

三角関数角度cos
2025/6/25

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ を求めよ。

三角関数sin角度方程式
2025/6/25

a君が駅から真北に自転車で移動中に、a君の真西に建設中のビルがありました。ビルはa君から見ると公園の右側、学校の左側にあり、駅から見ると学校の右側、公園の左側にあります。ビルからa君までの距離とa君か...

位置関係図形距離
2025/6/25

与えられた三角形 $ABC$ において、外接円の半径 $R$ を求めます。問題は120Aと120Bに分かれており、それぞれ3問ずつあります。

正弦定理三角形外接円三角比
2025/6/25

三角形ABCにおいて、$b = 5$, $B = 45^\circ$のとき、外接円の半径$R$を求めよ。

正弦定理三角形外接円三角比
2025/6/25

写真に写っている数学の問題（120A, 120B, 121A, 121B）を解きます。 * **120A**: 与えられた△ABCについて、外接円の半径Rを求めます。 (1...

三角形正弦定理外接円三角比
2025/6/25

円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $x + 3y + c = 0$ が異なる2点で交わるとき、定数 $c$ の値の範囲を求める。

円直線交点距離不等式
2025/6/25

次の円の方程式を求めます。 (1) 点$(2, 1)$を中心とし、直線$x + 2y + 1 = 0$に接する円 (2) 中心が直線$y = x + 1$上にあり、$x$軸に接して、点$(3, 2)$...

円方程式接線点と直線の距離
2025/6/25