xy平面上に点P(-1, 9)があり、方程式 $x^2 + y^2 - 8x + 6y + 16 = 0$ で表される円Cがある。円Cの中心をAとする。 (1) 2点P, A間の距離dを求める。 (2) 点Pを中心とし、円Cと接する円のうち、半径が(1)のdよりも大きい円の方程式を求める。

1. 問題の内容

xy平面上に点P(-1, 9)があり、方程式 $x^2 + y^2 - 8x + 6y + 16 = 0$ で表される円Cがある。円Cの中心をAとする。

(1) 2点P, A間の距離dを求める。

(2) 点Pを中心とし、円Cと接する円のうち、半径が(1)のdよりも大きい円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円Cの方程式を平方完成し、中心Aの座標を求める。その後、2点間の距離の公式を用いてP, A間の距離を計算する。

円Cの方程式 $x^2 + y^2 - 8x + 6y + 16 = 0$ を変形する。

$(x^2 - 8x) + (y^2 + 6y) + 16 = 0$

$(x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 6y + 9) + 16 - 16 - 9 = 0$

$(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 9$

したがって、円Cの中心Aの座標は(4, -3)である。

点P(-1, 9)と点A(4, -3)の間の距離dは、

$d = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (-3 - 9)^2}$

$d = \sqrt{(5)^2 + (-12)^2}$

$d = \sqrt{25 + 144}$

$d = \sqrt{169}$

$d = 13$

(2) 点Pを中心とする円の方程式は、半径をrとすると、

$(x + 1)^2 + (y - 9)^2 = r^2$

円Cと接する条件を考える。円Cの中心A(4, -3)と点P(-1, 9)の距離は13である。(1)より。

円Cの半径は3である。

求める円の半径をRとする。円Cと接する条件は、|R - 3| = 13またはR + 3 = 13。

R = 16またはR = 10

R > 13なので、R = 16

したがって、求める円の方程式は、

$(x + 1)^2 + (y - 9)^2 = 16^2$

$(x + 1)^2 + (y - 9)^2 = 256$

3. 最終的な答え

(1) P, A間の距離d = 13

(2) 求める円の方程式: $(x + 1)^2 + (y - 9)^2 = 256$