平面上に一辺の長さが1の正方形ABCDがある。各辺を3:4に内分する点をA1, B1, C1, D1とし、同様に正方形A1B1C1D1の各辺を3:4に内分する点をA2, B2, C2, D2とする。この操作を繰り返し、n番目に現れる正方形AnBnCnDnの一辺の長さをanとする。 (1) anをnを用いて表せ。 (2) 正方形ABCDと、n番目までに現れるすべての正方形の周の長さの和をnを用いて表せ。

はい、承知しました。

1. 問題の内容

平面上に一辺の長さが1の正方形ABCDがある。各辺を3:4に内分する点をA1, B1, C1, D1とし、同様に正方形A1B1C1D1の各辺を3:4に内分する点をA2, B2, C2, D2とする。この操作を繰り返し、n番目に現れる正方形AnBnCnDnの一辺の長さをanとする。

(1) anをnを用いて表せ。

(2) 正方形ABCDと、n番目までに現れるすべての正方形の周の長さの和をnを用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) まず、a1を求める。正方形A1B1C1D1の一辺の長さa1は、三平方の定理より、

$a_1 = \sqrt{(\frac{3}{7})^2 + (\frac{4}{7})^2} = \sqrt{\frac{9}{49} + \frac{16}{49}} = \sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{5}{7}$

同様に、a2はa1を用いて、

$a_2 = \frac{5}{7} a_1 = (\frac{5}{7})^2$

よって、anは

$a_n = (\frac{5}{7})^n$

(2) 正方形ABCDの周の長さは$4 \times 1 = 4$である。

正方形AnBnCnDnの周の長さは$4a_n = 4(\frac{5}{7})^n$である。

よって、n番目までに現れる全ての正方形の周の長さの和は、

$4 + \sum_{k=1}^{n} 4 (\frac{5}{7})^k = 4 + 4\sum_{k=1}^{n} (\frac{5}{7})^k$

等比数列の和の公式を用いて、

$\sum_{k=1}^{n} (\frac{5}{7})^k = \frac{\frac{5}{7} (1 - (\frac{5}{7})^n)}{1 - \frac{5}{7}} = \frac{\frac{5}{7} (1 - (\frac{5}{7})^n)}{\frac{2}{7}} = \frac{5}{2} (1 - (\frac{5}{7})^n)$

したがって、求める和は、

$4 + 4 \times \frac{5}{2} (1 - (\frac{5}{7})^n) = 4 + 10 (1 - (\frac{5}{7})^n) = 14 - 10(\frac{5}{7})^n$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = (\frac{5}{7})^n$

(2) $14 - 10(\frac{5}{7})^n$