$AB = x-1, BC = x, CA = x+1$ である $\triangle ABC$ において、$\cos B = \frac{2}{7}$ であるとき、次の問いに答える。 (1) 余弦定理を用いて、$x$ の値を求める。 (2) (1) の結果を用いて、$\triangle ABC$ の内接円の半径 $r$ を求める。

1. 問題の内容

$AB = x-1, BC = x, CA = x+1$ である $\triangle ABC$ において、$\cos B = \frac{2}{7}$ であるとき、次の問いに答える。

(1) 余弦定理を用いて、$x$ の値を求める。

(2) (1) の結果を用いて、$\triangle ABC$ の内接円の半径 $r$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理より、

$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$(x+1)^2 = (x-1)^2 + x^2 - 2(x-1)x \cdot \frac{2}{7}$

$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 2x + 1 + x^2 - \frac{4}{7}(x^2 - x)$

$x^2 - 4x = \frac{4}{7}(x^2 - x)$

$7x^2 - 28x = 4x^2 - 4x$

$3x^2 - 24x = 0$

$3x(x - 8) = 0$

$x = 0$ または $x = 8$

$x > 2$ より、$x = 8$

(2) $AB = 8-1 = 7, BC = 8, CA = 9$

$s = \frac{7+8+9}{2} = \frac{24}{2} = 12$

ヘロンの公式より、$\triangle ABC$ の面積 $S$ は

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5}$

内接円の半径 $r$ について、$S = rs$ より

$12\sqrt{5} = 12r$

$r = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 8$

(2) $r = \sqrt{5}$