一辺の長さが2の正六角形$A_1$があり、その面積を$S_1$とする。$A_1$の各辺の中点を頂点とする正六角形を$A_2$とし、その面積を$S_2$とする。 (1) $S_1$と$S_2$を求める。 (2) $n = 3, 4, 5, \dots$に対して、$A_{n-1}$の各辺の中点を頂点とする正六角形を$A_n$とし、その面積を$S_n$とする。数列$\{S_n\}$の一般項を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正六角形$A_1$があり、その面積を$S_1$とする。$A_1$の各辺の中点を頂点とする正六角形を$A_2$とし、その面積を$S_2$とする。

(1) $S_1$と$S_2$を求める。

(2) $n = 3, 4, 5, \dots$に対して、$A_{n-1}$の各辺の中点を頂点とする正六角形を$A_n$とし、その面積を$S_n$とする。数列$\{S_n\}$の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正六角形は、正三角形6個に分割できる。一辺の長さが$a$の正三角形の面積は$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$である。

$A_1$の一辺の長さは2なので、$S_1 = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = 6\sqrt{3}$.

$A_2$の一辺の長さは、直角三角形の斜辺の長さから計算できる。一辺の長さ2の正三角形を半分にすると、短辺が1、長辺が$\sqrt{3}$となる直角三角形ができるので、$A_2$の一辺の長さは$\sqrt{3}$。したがって、$S_2 = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\sqrt{3})^2 = \frac{9\sqrt{3}}{2}$.

(2) 正六角形$A_n$の一辺の長さを$a_n$とすると、$a_1 = 2$，$a_2 = \sqrt{3}$となる。$A_{n-1}$から$A_n$を作る時、$a_n = \frac{\sqrt{3}}{2} a_{n-1}$となる。つまり、$a_n = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1}$.

面積$S_n$は、$S_n = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times a_n^2 = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2 (\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1})^2 = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 (\frac{3}{4})^{n-1} = 6\sqrt{3} (\frac{3}{4})^{n-1}$.

3. 最終的な答え

(1) $S_1 = 6\sqrt{3}$, $S_2 = \frac{9\sqrt{3}}{2}$

(2) $S_n = 6\sqrt{3} (\frac{3}{4})^{n-1}$