下の図において、$\theta$ の値を求める問題です。APは円の接線であり、点Sは接点です（Sは図には描かれていませんが、恐らく接点のことを指していると思われます）。$\angle Q = 29^\circ$、$\angle CAP = 73^\circ$ が与えられています。

1. 問題の内容

下の図において、$\theta$ の値を求める問題です。APは円の接線であり、点Sは接点です（Sは図には描かれていませんが、恐らく接点のことを指していると思われます）。$\angle Q = 29^\circ$、$\angle CAP = 73^\circ$ が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、円周角の定理と接弦定理を利用して角度の関係を把握します。

* 接弦定理より、$\angle ABC = \angle CAP = 73^\circ$ です。

* 三角形の内角の和は180度なので、$\triangle AQC$において、$\angle ACQ = 180^\circ - (\angle Q + \angle CAQ)$です。ここで、$\angle CAQ = \angle CAD + \angle DAQ$です。$\angle DAQ$は $\angle Q$の対頂角なので、$\angle DAQ = 29^\circ$です。

* 四角形ABCDは円に内接する四角形なので、対角の和は180度です。したがって、$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$となり、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 73^\circ = 107^\circ$ です。

* $\triangle ADC$において、$\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$なので、$\angle CAD = 180^\circ - \angle ACD - \angle ADC$となります。

* $\angle ACQ + \angle ACD = 180^\circ$なので、$\angle ACD = 180^\circ - \angle ACQ = 180^\circ - (180^\circ - (\angle Q + \angle CAQ)) = \angle Q + \angle CAQ = 29^\circ + \angle CAD + 29^\circ = 58^\circ + \angle CAD$

* $\angle CAD = 180^\circ - \angle ACD - \angle ADC = 180^\circ - (58^\circ + \angle CAD) - 107^\circ$

$2\angle CAD = 180^\circ - 58^\circ - 107^\circ = 15^\circ$

$\angle CAD = 7.5^\circ$

* 円周角の定理より、$\angle CAD = \angle CBD = 7.5^\circ$ 。 また、$\angle ACB = \angle ADB$

* $\angle CAB = \theta$ を求めることを考えます。

* $\angle Q + \angle CAP + \angle CAB = 29^\circ+73^\circ + \theta = \angle CQP + \angle CPA + \angle CAB$

* $\triangle ABC$において、$\angle BAC + \angle ACB + \angle CBA = 180^\circ$なので、$\theta + \angle ACB + 73^\circ = 180^\circ$となり、$\angle ACB = 107^\circ - \theta$です。

* $\angle ADB = \angle ACB = 107^\circ - \theta$

* $\angle CAD + \theta + 73 = 180$ではない。

$\triangle APQ$ において、$\angle APQ = 73^\circ$ と $\angle AQP = 29^\circ$ が与えられているので、$\angle PAQ = 180^\circ - 73^\circ - 29^\circ = 78^\circ$

$\angle CAQ = 29^\circ + \angle CAD$

接弦定理より、$\angle ABC = 73^\circ$

円に内接する四角形$\triangle ADC$において、$\angle D + \angle ABC = 180^\circ$なので、 $\angle D = 107^\circ$

三角形の内角より、$\angle CAD = 180 - 107 - \angle DCA$

$\angle ACB = 180 - \angle APB - \angle BAP$

ここで、$\angle ACB$は求められる角度である。

$\angle CAP = 73^\circ$なので、接弦定理より、$\angle ABC=73^\circ$である。

$\angle ACB$の円周角$\angle ADB = \angle ACB$

$\angle ADB + \angle BDC = 107^\circ$

$180 - 73 - 29$

$\theta = \frac{29+73}{2} = 51$ではない。

$\theta = \frac{180-29-73}{2} = 39$ではない。

$\angle CAB = 73 - 29 = 44$

$\theta=44$

3. 最終的な答え

$\theta = 44^\circ$