与えられた円の方程式 $x^2 + y^2 - 6x + 10y + 16 = 0$ を標準形に変形し、円の中心と半径を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた円の方程式 $x^2 + y^2 - 6x + 10y + 16 = 0$ を標準形に変形し、円の中心と半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を平方完成します。$x$ の項と $y$ の項をそれぞれまとめ、平方完成に必要な数を両辺に加えます。

$x^2 - 6x + y^2 + 10y + 16 = 0$

$x$ の項について、$(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$ なので、$9$ を加える必要があります。

$y$ の項について、$(y+5)^2 = y^2 + 10y + 25$ なので、$25$ を加える必要があります。

したがって、与えられた方程式は次のように変形できます。

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 10y + 25) + 16 = 9 + 25$

$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 34 - 16$

$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 18$

この式は、中心が $(3, -5)$ で、半径が $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ の円を表しています。

3. 最終的な答え

円の中心は $(3, -5)$ で、半径は $3\sqrt{2}$ です。