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図のように、点 A(4, 9), 点 B(12, -3) が与えられており、y軸上に点 E をとる。線分の長さの和 AE + EB が最小になるときの三角形 AEB の面積を求める。ただし、座標軸の1目盛りは1cmとする。

幾何学座標平面三角形の面積点と直線の距離対称点
2025/6/25

1. 問題の内容

図のように、点 A(4, 9), 点 B(12, -3) が与えられており、y軸上に点 E をとる。線分の長さの和 AE + EB が最小になるときの三角形 AEB の面積を求める。ただし、座標軸の1目盛りは1cmとする。

2. 解き方の手順

(1) 点 A の y 軸に関する対称点 A' を求める。点 A(4, 9) の y 軸に関する対称点は A'(-4, 9) である。
(2) 直線 A'B の方程式を求める。A'(-4, 9), B(12, -3) を通る直線の傾きは、
m=−3−912−(−4)=−1216=−34m = \frac{-3 - 9}{12 - (-4)} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}
直線 A'B の方程式は、点 B(12, -3) を通ることを用いて、
y−(−3)=−34(x−12)y - (-3) = -\frac{3}{4}(x - 12)
y+3=−34x+9y + 3 = -\frac{3}{4}x + 9
y=−34x+6y = -\frac{3}{4}x + 6
(3) 点 E の座標を求める。点 E は直線 A'B と y 軸との交点であるため、x = 0 を代入して、
y=−34(0)+6=6y = -\frac{3}{4}(0) + 6 = 6
よって、点 E の座標は (0, 6) である。
(4) 三角形 AEB の面積を求める。三角形 AEB の底辺を AB とすると、高さは点 E から直線 AB までの距離である。しかし、ここでは、三角形 AEB の面積を、三角形 OAB の面積から三角形 OAE と三角形 OBE の面積を引くことによって求める。ただし、O は原点 (0, 0) である。
点 A(4, 9), B(12, -3) を通る直線の方程式は、傾きが
m=−3−912−4=−128=−32m = \frac{-3 - 9}{12 - 4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}
y−9=−32(x−4)y - 9 = -\frac{3}{2}(x - 4)
y−9=−32x+6y - 9 = -\frac{3}{2}x + 6
y=−32x+15y = -\frac{3}{2}x + 15
この直線と x軸の交点は、0=−32x+150 = -\frac{3}{2}x + 15 より、x=10x = 10。よって(10,0)を通る
三角形 OAB の面積は、SOAB=12∣xAyB−xByA∣=12∣4(−3)−12(9)∣=12∣−12−108∣=12∣−120∣=60S_{OAB} = \frac{1}{2} |x_A y_B - x_B y_A| = \frac{1}{2} |4(-3) - 12(9)| = \frac{1}{2} |-12 - 108| = \frac{1}{2} |-120| = 60
三角形 OAE の面積は、SOAE=12∣xOyA−xAyO+xAyE−xEyA+xEyO−xOyE∣=12∣(4)(6)−(0)(9)∣=12(24)=12S_{OAE} = \frac{1}{2} |x_O y_A - x_A y_O + x_A y_E - x_E y_A + x_E y_O - x_O y_E| = \frac{1}{2} |(4)(6) - (0)(9)| = \frac{1}{2} (24) = 12
三角形 OBE の面積は、SOBE=12∣xOyB−xByO+xByE−xEyB+xEyO−xOyE∣=12∣(12)(6)−(0)(−3)∣=12(72)=36S_{OBE} = \frac{1}{2} |x_O y_B - x_B y_O + x_B y_E - x_E y_B + x_E y_O - x_O y_E| = \frac{1}{2} |(12)(6) - (0)(-3)| = \frac{1}{2} (72) = 36
三角形 AEB の面積は、SAEB=SOAB−SOAE−SOBE=60−12∣0×9−4×0+4×6−0×9+0×0−0×6∣−12∣0×(−3)−12×0+12×6−0×(−3)+0×0−0×6∣=60−12×24−12×72=60−12−36=12S_{AEB} = S_{OAB} - S_{OAE} - S_{OBE} = 60 - \frac{1}{2}|0 \times 9 - 4 \times 0 + 4 \times 6 - 0 \times 9 + 0 \times 0 - 0 \times 6| - \frac{1}{2}|0 \times (-3) - 12 \times 0 + 12 \times 6 - 0 \times (-3) + 0 \times 0 - 0 \times 6| = 60 - \frac{1}{2} \times 24 - \frac{1}{2} \times 72 = 60 - 12 - 36 = 12
別解
線分 AB を底辺と考え、E から AB までの距離を高さとすると計算が複雑になるので、
線分 EB を底辺と考え、A から EB までの距離を高さとすると
E(0,6), B(12,-3) なので
直線 EB の式は y = (-3-6)/(12-0) x + 6 = -3/4 x + 6
点と直線の距離の公式 d = |ax1 + by1 + c|/√(a^2 + b^2) を使う。
直線の式を変形すると 3/4 x + y - 6 = 0 つまり 3x + 4y - 24 = 0
d = |3(4) + 4(9) - 24| / √(3^2 + 4^2) = |12+36-24|/5 = 24/5
EB = √((12-0)^2 + (-3-6)^2) = √(144+81) = √225 = 15
面積 = 1/2 × 15 × 24/5 = 1/2 × 3 × 24 = 36/2 = 12

3. 最終的な答え

12 cm²

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