点Pの座標を$(x, y)$とする。原点からの距離と、直線$x = -3$からの距離の比が2であるような点Pの軌跡を求める。

1. 問題の内容

点Pの座標を$(x, y)$とする。原点からの距離と、直線$x = -3$からの距離の比が2であるような点Pの軌跡を求める。

2. 解き方の手順

点P$(x, y)$と原点$(0, 0)$との距離は$\sqrt{x^2 + y^2}$である。

点P$(x, y)$と直線$x = -3$との距離は $|x - (-3)| = |x + 3|$である。

原点からの距離と直線$x = -3$からの距離の比が2であるから、

$\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{|x + 3|} = 2$が成り立つ。

両辺を2乗すると、

$\frac{x^2 + y^2}{(x + 3)^2} = 4$

$x^2 + y^2 = 4(x + 3)^2$

$x^2 + y^2 = 4(x^2 + 6x + 9)$

$x^2 + y^2 = 4x^2 + 24x + 36$

$3x^2 - y^2 + 24x + 36 = 0$

$3(x^2 + 8x) - y^2 + 36 = 0$

$3(x^2 + 8x + 16) - y^2 + 36 - 48 = 0$

$3(x + 4)^2 - y^2 - 12 = 0$

$3(x + 4)^2 - y^2 = 12$

$\frac{(x + 4)^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$

3. 最終的な答え

$\frac{(x + 4)^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$