問題は、AB=AC=10である二等辺三角形ABCにおいて、辺BCの中点をMとし、AM=$4\sqrt{5}$とする。三角形ABMの外接円と辺ACの交点のうち、Aでない点をDとする。このとき、以下の問いに答える。 (1) 線分BMの長さを求めよ。 (2) 線分CDの長さを求めよ。 (3) 線分AM, BDの交点をEとするとき、線分BEの長さを求めよ。

1. 問題の内容

問題は、AB=AC=10である二等辺三角形ABCにおいて、辺BCの中点をMとし、AM=$4\sqrt{5}$とする。三角形ABMの外接円と辺ACの交点のうち、Aでない点をDとする。このとき、以下の問いに答える。

(1) 線分BMの長さを求めよ。

(2) 線分CDの長さを求めよ。

(3) 線分AM, BDの交点をEとするとき、線分BEの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分BMの長さを求める。

$\triangle ABM$において三平方の定理より、$AB^2 = AM^2 + BM^2$が成り立つ。

$10^2 = (4\sqrt{5})^2 + BM^2$

$100 = 16 \cdot 5 + BM^2$

$100 = 80 + BM^2$

$BM^2 = 20$

$BM = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

よって、$BM = 2\sqrt{5}$

(2) 線分CDの長さを求める。

方べきの定理より、$CM \cdot MB = AM \cdot MD$

$CM = BM = 2\sqrt{5}$であるから、

$2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5} \cdot MD$

$20 = 4\sqrt{5} \cdot MD$

$MD = \frac{20}{4\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

$AD = AM + MD = 4\sqrt{5} + \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

$AC = 10$より、

$CD = AC - AD = 10 - 5\sqrt{5}$

(3) 線分BEの長さを求める。

$\triangle ABE \sim \triangle DME$が成り立つ。

$AM=4\sqrt{5}$、$MD=\sqrt{5}$より、$AM:MD=4:1$

$AE:ED=AM:MD=4:1$

$BE:DE=AB:MD$

メネラウスの定理より、直線BDが$\triangle AMC$と交わっているので、

$\frac{AD}{DC} \cdot \frac{CB}{BM} \cdot \frac{ME}{EA} = 1$

$\frac{5\sqrt{5}}{10-5\sqrt{5}} \cdot \frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{ME}{EA} = 1$

$\frac{\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} \cdot 2 \cdot \frac{ME}{EA} = 1$

$\frac{2\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} \cdot \frac{ME}{EA} = 1$

$\frac{ME}{EA} = \frac{2-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{2-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}-5}{10}$

$\frac{AE}{AM} = \frac{10}{10+2\sqrt{5}-5} = \frac{10}{5+2\sqrt{5}}$

$\triangle MBE \sim \triangle DAE$より、

$AE:ME=(AE/EA)=(5+2\sqrt{5})/(2\sqrt{5}-5)$

3. 最終的な答え

(1) $BM = 2\sqrt{5}$

(2) $CD = 10 - 5\sqrt{5}$

(3) 線分BEの長さは求められません。追加の情報が必要です。