放物線 $C: y = \frac{x^2}{4} - 3$ と原点を中心とする円 $C'$ が2点P, Qで接線を共有している。 (1) 円 $C'$ の半径を求める。 (2) P, Q によって分けられる円 $C'$ の弧のうち、短い方をDとするとき、CとDが囲む部分の面積を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = \frac{x^2}{4} - 3$ と原点を中心とする円 $C'$ が2点P, Qで接線を共有している。

(1) 円 $C'$ の半径を求める。

(2) P, Q によって分けられる円 $C'$ の弧のうち、短い方をDとするとき、CとDが囲む部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円の中心は原点なので、円の方程式は $x^2 + y^2 = r^2$ と表せる。

放物線 $C: y = \frac{x^2}{4} - 3$ と円 $C': x^2 + y^2 = r^2$ が接するので、連立方程式を解いて重解を持つ条件を考える。

$x^2 = 4(y+3)$ を円の方程式に代入すると、

$4(y+3) + y^2 = r^2$

$y^2 + 4y + (12 - r^2) = 0$

これが重解を持つので、判別式 $D = 0$ である。

$D = 4^2 - 4(12 - r^2) = 16 - 48 + 4r^2 = 4r^2 - 32 = 0$

$r^2 = 8$

$r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

よって、円 $C'$ の半径は $2\sqrt{2}$ である。

(2)

接点の座標を求める。

$y^2 + 4y + (12 - 8) = 0$

$y^2 + 4y + 4 = 0$

$(y+2)^2 = 0$

$y = -2$

$x^2 = 4(-2+3) = 4$

$x = \pm 2$

よって、接点の座標は $(2, -2)$ と $(-2, -2)$ である。

原点と点$(2, -2)$ を結ぶ線分の傾きは $\frac{-2}{2} = -1$ であるから、この線分とx軸のなす角は $\frac{3}{4}\pi$である。

したがって、$\angle POQ = \frac{\pi}{2}$である。

CとDが囲む部分の面積は、扇形POQの面積から三角形POQの面積を引いたものに放物線Cと直線y=-2で囲まれた面積を足したものである。

扇形POQの面積は、$\frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi (2\sqrt{2})^2 = \frac{1}{4} \pi (8) = 2\pi$

三角形POQの面積は、$\frac{1}{2} |2 \cdot (-2)| = 2$

放物線Cと直線y=-2で囲まれた面積は、

$\int_{-2}^{2} (-2 - (\frac{x^2}{4} - 3)) dx = \int_{-2}^{2} (1 - \frac{x^2}{4}) dx = [x - \frac{x^3}{12}]_{-2}^{2} = (2 - \frac{8}{12}) - (-2 + \frac{8}{12}) = 4 - \frac{16}{12} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

したがって、求める面積は $2\pi - 2 + \frac{8}{3} = 2\pi + \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 円 $C'$ の半径は $2\sqrt{2}$ である。

(2) CとDが囲む部分の面積は $\frac{2}{3} - 2\pi$ である。

ア = 2

イ = 2

ウ = 2

エ = 0

オ = 3

カ = 2