(1) 半径 $r=2$, 中心角 $\theta = \frac{3}{4}\pi$ のおうぎ形の弧の長さ $l$ を求めよ。 (2) 半径 $r=4$, 弧の長さ $l=10$ のおうぎ形の面積 $S$ を求めよ。 (3) $\sin \frac{5}{4}\pi$ を求めよ。 (4) $\cos \frac{3}{2}\pi$ を求めよ。 (5) $\tan \frac{11}{6}\pi$ を求めよ。 (6) $\sin \frac{9}{4}\pi$ を求めよ。 (7) $\tan (-\frac{14}{3}\pi)$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 半径 $r=2$, 中心角 $\theta = \frac{3}{4}\pi$ のおうぎ形の弧の長さ $l$ を求めよ。

(2) 半径 $r=4$, 弧の長さ $l=10$ のおうぎ形の面積 $S$ を求めよ。

(3) $\sin \frac{5}{4}\pi$ を求めよ。

(4) $\cos \frac{3}{2}\pi$ を求めよ。

(5) $\tan \frac{11}{6}\pi$ を求めよ。

(6) $\sin \frac{9}{4}\pi$ を求めよ。

(7) $\tan (-\frac{14}{3}\pi)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 弧の長さ $l$ は $l = r\theta$ で計算できる。したがって、

$l = 2 \cdot \frac{3}{4}\pi = \frac{3}{2}\pi$

(2) 面積 $S$ は $S = \frac{1}{2}rl$ で計算できる。したがって、

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 = 20$

(3) $\sin \frac{5}{4}\pi = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

(4) $\cos \frac{3}{2}\pi = 0$

(5) $\tan \frac{11}{6}\pi = \tan (2\pi - \frac{\pi}{6}) = \tan (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(6) $\sin \frac{9}{4}\pi = \sin(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(7) $\tan (-\frac{14}{3}\pi) = \tan (-\frac{12}{3}\pi - \frac{2}{3}\pi) = \tan (-4\pi - \frac{2}{3}\pi) = \tan (-\frac{2}{3}\pi) = \tan (-\frac{2}{3}\pi + 2\pi) = \tan (\frac{4}{3}\pi) = \tan(\pi + \frac{\pi}{3}) = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $l = \frac{3}{2}\pi$

(2) $S = 20$

(3) $\sin \frac{5}{4}\pi = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

(4) $\cos \frac{3}{2}\pi = 0$

(5) $\tan \frac{11}{6}\pi = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(6) $\sin \frac{9}{4}\pi = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(7) $\tan (-\frac{14}{3}\pi) = \sqrt{3}$