ベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ が $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 2$ を満たすとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値と、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ が $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 2$ を満たすとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値と、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ より、$\vec{c} = -(\vec{a} + \vec{b})$ である。

両辺の絶対値の2乗を計算すると、

$|\vec{c}|^2 = |-(\vec{a} + \vec{b})|^2 = |\vec{a} + \vec{b}|^2$

$|\vec{c}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

条件より $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 2$ なので、

$2^2 = 2^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2^2$

$4 = 4 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4$

$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -4$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$

次に、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると、内積の定義より

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$

$-2 = 2 \cdot 2 \cdot \cos{\theta}$

$-2 = 4 \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = -\frac{1}{2}$

したがって、$\theta = \frac{2}{3} \pi$ または $\theta = 120^\circ$

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は $\frac{2}{3}\pi$ (または $120^\circ$)