三角形ABCにおいて、角A, B, Cの大きさをそれぞれA, B, Cとする。$\tan A, \tan B, \tan C$はすべて整数で、$A < B < C$である。 (1) $\tan(B+C)$を$\tan A$を用いて表せ。 (2) $C < 90^\circ$を示せ。 (3) $\tan A, \tan B, \tan C$の組をすべて求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角A, B, Cの大きさをそれぞれA, B, Cとする。$\tan A, \tan B, \tan C$はすべて整数で、$A < B < C$である。

(1) $\tan(B+C)$を$\tan A$を用いて表せ。

(2) $C < 90^\circ$を示せ。

(3) $\tan A, \tan B, \tan C$の組をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\tan(B+C)$を$\tan A$を用いて表す。

三角形の内角の和は180度なので、$A+B+C = 180^\circ$より、$B+C = 180^\circ - A$である。

したがって、$\tan(B+C) = \tan(180^\circ - A) = -\tan A$となる。

(2) $C < 90^\circ$を示す。

もし$C \ge 90^\circ$だとすると、$A < B < C$より$A < B < 90^\circ$となり、A, B, Cのいずれかが90度以上になってしまう。

三角形の内角の和は180度なので、$A+B+C = 180^\circ$であり、$A, B, C$はすべて90度未満でなければならない。しかし、$\tan$は整数であるため、$A, B, C$が90度に近い値になることはない。

$C < 90^\circ$を示すために背理法を用いる。もし$C \ge 90^\circ$であると仮定すると、$A+B+C>180^\circ$となるため矛盾する。したがって、$C < 90^\circ$である。

$A, B, C$は鋭角であり、$A < B < C$である。$0^\circ < A < B < C < 90^\circ$である。

(3) $\tan A, \tan B, \tan C$の組をすべて求める。

$\tan(A+B+C) = \tan(180^\circ) = 0$

$\tan(A+B+C) = \frac{\tan(A+B) + \tan C}{1-\tan(A+B)\tan C} = \frac{\frac{\tan A + \tan B}{1-\tan A \tan B} + \tan C}{1-\frac{\tan A + \tan B}{1-\tan A \tan B}\tan C} = \frac{\tan A + \tan B + \tan C - \tan A \tan B \tan C}{1-\tan A \tan B - \tan B \tan C - \tan C \tan A}$

$\tan(A+B+C) = 0$より、$\tan A + \tan B + \tan C - \tan A \tan B \tan C = 0$

$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$

$x = \tan A, y = \tan B, z = \tan C$とおくと、$x, y, z$は整数で、$x < y < z$であり、$x+y+z = xyz$を満たす。

$x=1$のとき、$1+y+z = yz$より、$yz-y-z = 1$

$yz - y - z + 1 = 2$

$(y-1)(z-1) = 2$

$y-1 = 1, z-1 = 2$より、$y = 2, z = 3$

$x=1, y=2, z=3$は条件を満たす。

$x=2$のとき、$2+y+z = 2yz$より、$2yz - y - z = 2$。

$y < z$より、$y \ge 3$。$2yz - y - z > 2(3)(3) - 3 - 3 = 12 > 2$なので、$x>1$の場合、条件を満たす$y,z$は存在しない。

したがって、$(\tan A, \tan B, \tan C) = (1, 2, 3)$

3. 最終的な答え

(1) $\tan(B+C) = -\tan A$

(2) $C < 90^\circ$ (証明は上記参照)

(3) $(\tan A, \tan B, \tan C) = (1, 2, 3)$