媒介変数 $\theta$ を用いて $x = \sqrt{5}\cos\theta$, $y = 2\sin\theta - 1$ と表される楕円 $C$ について、以下の問いに答える。 (1) 楕円 $C$ を $x, y$ の式で表せ。 (2) 点 $A(0, 3)$ から楕円 $C$ に引いた2本の接線の方程式を求めよ。 (3) $p>1$ となる点 $B(0, p)$ から楕円 $C$ に引いた2本の接線が直交するとき、$p$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

媒介変数 $\theta$ を用いて $x = \sqrt{5}\cos\theta$, $y = 2\sin\theta - 1$ と表される楕円 $C$ について、以下の問いに答える。

(1) 楕円 $C$ を $x, y$ の式で表せ。

(2) 点 $A(0, 3)$ から楕円 $C$ に引いた2本の接線の方程式を求めよ。

(3) $p>1$ となる点 $B(0, p)$ から楕円 $C$ に引いた2本の接線が直交するとき、$p$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた媒介変数表示から $\cos\theta$ と $\sin\theta$ を $x, y$ で表す。

$\cos\theta = \frac{x}{\sqrt{5}}$

$\sin\theta = \frac{y+1}{2}$

三角関数の基本公式 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ に代入する。

$\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)^2 + \left(\frac{y+1}{2}\right)^2 = 1$

$\frac{x^2}{5} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$

(2)

点 $(0,3)$ を通る直線を $y = mx + 3$ とする。この直線が楕円 $C$ に接するための条件を求める。

$\frac{x^2}{5} + \frac{(mx+3+1)^2}{4} = 1$

$\frac{x^2}{5} + \frac{(mx+4)^2}{4} = 1$

$4x^2 + 5(m^2x^2 + 8mx + 16) = 20$

$4x^2 + 5m^2x^2 + 40mx + 80 = 20$

$(4+5m^2)x^2 + 40mx + 60 = 0$

この2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ である。

$D/4 = (20m)^2 - (4+5m^2)(60) = 0$

$400m^2 - 240 - 300m^2 = 0$

$100m^2 = 240$

$m^2 = \frac{240}{100} = \frac{12}{5}$

$m = \pm \sqrt{\frac{12}{5}} = \pm \frac{2\sqrt{15}}{5}$

したがって、接線の方程式は $y = \pm \frac{2\sqrt{15}}{5}x + 3$ である。

(3)

点 $(0, p)$ を通る直線を $y = mx + p$ とする。この直線が楕円 $C$ に接するための条件を求める。

$\frac{x^2}{5} + \frac{(mx+p+1)^2}{4} = 1$

$4x^2 + 5(m^2x^2 + 2m(p+1)x + (p+1)^2) = 20$

$(4+5m^2)x^2 + 10m(p+1)x + 5(p+1)^2 - 20 = 0$

この2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ である。

$D/4 = (5m(p+1))^2 - (4+5m^2)(5(p+1)^2 - 20) = 0$

$25m^2(p+1)^2 - (4+5m^2)(5(p+1)^2 - 20) = 0$

$25m^2(p+1)^2 - (20(p+1)^2 - 80 + 25m^2(p+1)^2 - 100m^2) = 0$

$- 20(p+1)^2 + 80 + 100m^2 = 0$

$100m^2 = 20(p+1)^2 - 80$

$m^2 = \frac{1}{5}((p+1)^2 - 4)$

$m^2 = \frac{1}{5}(p^2 + 2p + 1 - 4)$

$m^2 = \frac{1}{5}(p^2 + 2p - 3)$

2本の接線が直交する条件は、$m_1m_2 = -1$ である。ここで、$m_1$ と $m_2$ は上記の $m$ の解である。したがって、

$m^2 = \frac{1}{5}(p^2 + 2p - 3)$ は2つの解 $m_1$ と $m_2$ を持ち、$m_1m_2 = -1$ を満たす。

上記の関係式より、$m^2$ は $p$ の関数として表される。2本の接線の傾きを $m_1, m_2$ とすると、

$m_1, m_2$ は $m^2 = \frac{1}{5}(p^2 + 2p - 3)$ の解なので、$m = \pm\sqrt{\frac{1}{5}(p^2+2p-3)}$ と表せる。2本の接線が直交する条件は $m_1m_2=-1$ なので、傾きの積は $-1$ になる。このとき、$m$ の2次方程式の解が $m_1$ と $m_2$ なので、$m$ の2次方程式は $m^2 + 1=0$ となる。

2本の接線が直交するから、傾きの積は $-1$。よって、 $m_1m_2=-1$.　$m^2 = \frac{1}{5}(p^2+2p-3)$　であるから

$m_1 = \sqrt{\frac{1}{5}(p^2+2p-3)}$, $m_2 = -\sqrt{\frac{1}{5}(p^2+2p-3)}$ とおける。（接線が2本存在するため、虚数解ではない。）

すると$m_1m_2 = - \frac{1}{5}(p^2+2p-3) = -1$

$p^2+2p-3 = 5$

$p^2+2p-8=0$

$(p+4)(p-2)=0$

$p = -4, 2$

$p>1$ より $p = 2$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^2}{5} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$

(2) $y = \pm \frac{2\sqrt{15}}{5}x + 3$

(3) $p = 2$