(1) 正五角形の面から作られる正十二面体について、面の数が12であるとき、頂点の数と辺の数を求めます。 (2) 正二十面体について、各面は合同な正三角形であり、1つの頂点に集まる面の数が5であるとき、頂点の数と辺の数を求めます。また、1つの辺に集まる面の数も求めます。

1. 問題の内容

(1) 正五角形の面から作られる正十二面体について、面の数が12であるとき、頂点の数と辺の数を求めます。

(2) 正二十面体について、各面は合同な正三角形であり、1つの頂点に集まる面の数が5であるとき、頂点の数と辺の数を求めます。また、1つの辺に集まる面の数も求めます。

2. 解き方の手順

(1) 正十二面体について

正十二面体は、面が12個、各面は正五角形です。

* オイラーの多面体定理を利用します。

$頂点の数 - 辺の数 + 面の数 = 2$

これを $V - E + F = 2$ と表します。

* 面の数は $F = 12$ と与えられています。

* 各面は正五角形なので、辺の数は $12 \times 5 = 60$ ですが、各辺は2つの面で共有されるので、辺の数 $E$ は $60 / 2 = 30$ です。

* オイラーの多面体定理に代入して、

$V - 30 + 12 = 2$

$V = 2 + 30 - 12 = 20$

(2) 正二十面体について

正二十面体は、各面が正三角形で構成されています。

* 面の数は20です。

各頂点に集まる面の数が5なので、頂点の周りの角度は $60^\circ \times 5 = 300^\circ$ となり、これは360度より小さいので正多面体となりえます。

* 1つの頂点に5つの面が集まっているので、$20 \times 3 / 5 = 12$ です。つまり、頂点の数は12です。

* 各面は正三角形なので、辺の数は $20 \times 3 = 60$ ですが、各辺は2つの面で共有されるので、辺の数 $E$ は $60 / 2 = 30$ です。

* 一つの辺に集まる面の数は、正二十面体では２つです。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の数：20、辺の数：30

(2) 頂点の数：12、1つの辺に集まる面の数：2、辺の数：30