一辺の長さが $x$ mの正方形の土地の周囲に、幅$a$ mの道をつける。この道の面積を$S$ $m^2$, 道の真ん中を通って1周する線の長さを$l$ mとするとき、$S = al$となることを証明する。

1. 問題の内容

一辺の長さが $x$ mの正方形の土地の周囲に、幅$a$ mの道をつける。この道の面積を$S$ $m^2$, 道の真ん中を通って1周する線の長さを$l$ mとするとき、$S = al$となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道の面積$S$を計算する。道の面積は、外側の正方形の面積から内側の正方形の面積を引くことで求められる。外側の正方形の一辺の長さは$x + 2a$なので、面積は$(x+2a)^2$となる。内側の正方形の面積は$x^2$である。したがって、

$S = (x+2a)^2 - x^2$

$S = x^2 + 4ax + 4a^2 - x^2$

$S = 4ax + 4a^2$

次に、道の中央を通る線の長さ$l$を計算する。道の中央を通る正方形の一辺の長さは$x+a$なので、その周長は

$l = 4(x+a)$

$l = 4x + 4a$

最後に、$al$を計算し、$S$と等しいことを示す。

$al = a(4x + 4a)$

$al = 4ax + 4a^2$

$S = 4ax + 4a^2$と$al = 4ax + 4a^2$より、$S = al$が成り立つ。

3. 最終的な答え

道の面積$S = 4ax + 4a^2$

道の中央を通る線の長さ$l = 4x + 4a$

したがって、$S = al$が成り立つ。